格林公式曲線積分

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1、§3格林公式·曲線積分與路線的無關(guān)性在計(jì)算定積分時(shí),牛頓-萊布尼茨公式反映了區(qū)間上的定積分與其端點(diǎn)上的原函數(shù)值之間的聯(lián)系;本節(jié)中的格林公式則反映了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系.一、格林公式二、曲線積分與路線的無關(guān)性返回一、格林公式設(shè)區(qū)域D的邊界L是由一條或幾條光滑曲線所組成.邊界曲線的正方向規(guī)定為:當(dāng)人沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在它的左邊,如圖21-12所示.與上述規(guī)定的方向相反的方向稱為負(fù)方向,記為定理21.11若函數(shù)在閉區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有(1)這里L(fēng)為區(qū)域D的邊界曲線,并

2、取正方向.公式(1)稱為格林公式.證根據(jù)區(qū)域D的不同形狀,這里對(duì)以下三種情形(i)若D既是x型又是y型區(qū)域(圖21-13),則可表為作出證明:又可表為這里和分分別是曲線和的方程.于是別為曲線和的方程,而和則圖21-13同理又可證得將上述兩個(gè)結(jié)果相加即得(ii)若區(qū)域D是由一條按段光滑的閉曲線圍成,且可用幾段光滑曲線將D分成有限個(gè)既是x型又是y型的子區(qū)域(如圖21-14),則可逐塊按(i)得到它們的格林公式,然后相加即可.如圖21-14所示的區(qū)域D,可將它分成三個(gè)既是x型又是y型的區(qū)域于是(iii)若區(qū)域D由幾條閉

3、曲線所圍成,如圖21-15所示.這把區(qū)域化為(ii)的情形來處時(shí)可適當(dāng)添加線段理.在圖21-15中添加了后,D的邊界則由注1并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個(gè)既是型又是型區(qū)域的并集,例如由及構(gòu)成.由(ii)知所圍成的區(qū)域便是如此.注2為便于記憶,格林公式(1)也可寫成下述形式:注3應(yīng)用格林公式可以簡(jiǎn)化某些曲線積分的計(jì)算.請(qǐng)看以下二例:第一象限部分(圖21-16).解對(duì)半徑為r的四分之一圓域D,應(yīng)用格林公式:由于因此例1計(jì)算其中曲線是半徑為r的圓在例2計(jì)算其中L為任一不包含原點(diǎn)的閉區(qū)域的邊界線.解因?yàn)樗鼈冊(cè)谏鲜鰠^(qū)

4、域D上連續(xù)且相等,于是所以由格林公式立即可得在格林公式中,令則得到一個(gè)計(jì)算平面區(qū)域D的面積SD的公式:(2)例3計(jì)算拋物線與x軸所圍圖形的面積(圖21-17).解曲線由函數(shù)表示,為直線于是二、曲線積分與路線的無關(guān)性在第二十章§2中計(jì)算第二型曲線積分的開始兩個(gè)例子中,讀者可能已經(jīng)看到,在例1中,以A為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的曲線積分,若所沿的路線不同,則其積分值也不同,但在例2中的曲線積分值只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),與路線的選取無關(guān).本段將討論曲線積分在什么條件下,它的值與所沿路線的選取無關(guān).首先介紹單連通區(qū)域的概念.若對(duì)于平面區(qū)

5、域D內(nèi)任一封閉曲線,皆可不經(jīng)過D以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于D的某一點(diǎn),則稱此平面區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域;否則稱為復(fù)連通區(qū)域.在圖21-18中,與是單連通區(qū)域,而與則是復(fù)連通區(qū)域.單連通區(qū)域也可以這樣敘述:D內(nèi)任一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有D中的點(diǎn).更通俗地說,單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域則是有“洞”的區(qū)域.定理21.12設(shè)D是單連通閉區(qū)域.若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)條件兩兩等價(jià):(i)沿D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線L,有(ii)對(duì)D中任一按段光滑曲線L,曲線積分與路線無關(guān),只與L的起點(diǎn)及

6、終點(diǎn)有關(guān);(iii)是D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在D內(nèi)有(iv)在D內(nèi)處處成立證(i)(ii)如圖21-19,設(shè)與為聯(lián)結(jié)點(diǎn)A,B的任意兩條按段光滑曲線,由(i)可推得所以D內(nèi)任意一點(diǎn).由(ii),曲線積分與路線的選擇無關(guān),故當(dāng)在D內(nèi)變動(dòng)時(shí),其積分值是的函數(shù),即有取充分小,使則函數(shù)對(duì)于x的偏增量(圖21-20)(ii)(iii)設(shè)為D內(nèi)某一定點(diǎn),為因?yàn)樵贒內(nèi)曲線積分與路線無關(guān),所以因直線段BC平行于x軸,故,從而由積分中值定理可得其中根據(jù)在D上連續(xù),于是有同理可證所以證得(iii)(iv)設(shè)存在函數(shù)使得因此于是由一點(diǎn)

7、處都有(iv)(i)設(shè)L為D內(nèi)任一按段光滑封閉曲線,記L所圍的區(qū)域?yàn)?由于D為單連通區(qū)域,所以區(qū)域含在D內(nèi).應(yīng)用格林公式及在D內(nèi)恒有的條件,就得到以及P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),便可知道在D內(nèi)每上面我們將四個(gè)條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍,這就證明了它們是相互等價(jià)的.應(yīng)用定理21.12中的條件(iv)考察第二十章§2中的例1與例2.在例1中由于故積分與路線有關(guān).在例2中由于所以積分與路線無關(guān).例4計(jì)算其中到點(diǎn)D(0,1)的路徑(見圖21-21).分析如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足與路徑無關(guān)的條件,則可改變積分路徑,使易

8、于計(jì)算.L為沿著右半圓周由點(diǎn)A(0,-1)解記易知除去點(diǎn)E(0.5,0)外,處處滿足設(shè)為由點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)最圖21-21的折線段.后到點(diǎn)可被包含在某一不含奇點(diǎn)E的單連通區(qū)域內(nèi),所以有注1定理21.12中對(duì)“單連通區(qū)域”的要求是重要何不包含原點(diǎn)的單連通區(qū)域,已證得在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的任何封閉曲線L上,皆有(3)的.如本例若取沿y軸由點(diǎn)A到點(diǎn)D的路徑,雖然算起來很簡(jiǎn)單,但卻不可用.因?yàn)?/p>