完全平方數(shù)和完全平方式

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1、完全平方數(shù)和完全平方式　　第三十一講完全平方數(shù)和完全平方式　　　設(shè)n是自然數(shù)，若存在自然數(shù)m，使得n=m2，則稱n是一個(gè)完全平方數(shù)(或平方數(shù))．常見的題型有：判斷一個(gè)數(shù)是否是完全平方數(shù)；證明一個(gè)數(shù)不是完全平方數(shù)；關(guān)于存在性問題和其他有關(guān)問題等．最常用的性質(zhì)有：　　　(1)任何一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9，個(gè)位數(shù)字是2，3，7，8的數(shù)一定不是平方數(shù)；　　　(2)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)的兩位以上的數(shù)一定不是完全平方數(shù)，個(gè)位數(shù)字為6，而十位數(shù)字為偶數(shù)的數(shù)，也一定不是完全平方數(shù)；　　(3)在相鄰兩個(gè)平方數(shù)之間的數(shù)一定不是平方數(shù)；　　

2、　(4)任何一個(gè)平方數(shù)必可表示成兩個(gè)數(shù)之差的形式；　　　(5)任何整數(shù)平方之后，只能是3n或3n+1的形式，從而知，形如3n+2的數(shù)絕不是平方數(shù)；任何整數(shù)平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，從而知5n+2或5n+3的數(shù)絕不是平方數(shù)；　　　(6)相鄰兩個(gè)整數(shù)之積不是完全平方數(shù)；　　　(7)如果自然數(shù)n不是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；如果自然數(shù)n是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)；　　(8)偶數(shù)的平方一定能被4整除；奇數(shù)的平方被8除余1，且十位數(shù)字必是偶數(shù)．　　例題求解　　【例1】n是正整數(shù)，3n+1是完全平方數(shù)，證明：

3、n+l是3個(gè)完全平方數(shù)之和．　　思路點(diǎn)撥設(shè)3n+1=m2，顯然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整數(shù))．　　　若rn=3k+1，則．　　∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．　　若m=3k+2，則　　∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．　　　故n+1是3個(gè)完全平方數(shù)之和．　　【例2】一個(gè)正整數(shù)，如果加上100是一個(gè)平方數(shù)，如果加上168，則是另一個(gè)平方數(shù)，求這個(gè)正整數(shù)．　　思路點(diǎn)撥　引入?yún)?shù)，利用奇偶分析求解．　　設(shè)所求正整數(shù)為x，則　　x+100=m2----①　　x+168==n2-----②

4、　　其中m，n都是正整數(shù)，②—①得n2—m2=68，即（n—m）(n+m)=22×17．----③　　因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶數(shù)．注意到0

5、=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．　　　對(duì)于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個(gè)正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．　　　對(duì)于被4除余2的數(shù)4k+2(k=0，1，2，3，…)，設(shè)4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y為正整數(shù)，當(dāng)x，y奇偶性相同時(shí)，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；當(dāng)x，y奇偶性相異時(shí)，(x+y)(x－y)為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．所以不存在自然數(shù)x，y使得x

6、2—y2=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．　　　因此，在正整數(shù)列中前四個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“智慧數(shù)”．　　　因?yàn)?998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996個(gè)“智慧數(shù)”，2665是第1997個(gè)“智慧數(shù)”，注意到2666不是“智慧數(shù)”，因此2667是第1998個(gè)“智慧數(shù)”，即第1998個(gè)“智慧數(shù)”是2667．　　【例4】(太原市競賽題)已知：五位數(shù)滿足下列條件：　　(1)它的各位數(shù)字均不為零；　　(2)它是一個(gè)完全平方數(shù)；　　(3)它的萬位上的數(shù)字a是一個(gè)完全平方

7、數(shù)，干位和百位上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)以及十位和個(gè)位上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)也都是完全平方數(shù)．　　　試求出滿足上述條件的所有五位數(shù)．　　思路點(diǎn)撥設(shè)，且(一位數(shù))，(兩位數(shù))，(兩位數(shù))，則　　?、佟　　∮墒舰僦　、凇　”容^式①、式②得n2=2mt．　　因?yàn)閚2是2的倍數(shù)，故n也是2的倍數(shù)，所以，n2是4的倍數(shù)，且是完全平方數(shù)．　　故n2=16或36或64．　　當(dāng)n2=16時(shí)，得，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；　　故或41616．　　當(dāng)n2=36時(shí)，得．則m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合條件，舍去．　　故

8、或93636．　　當(dāng)n2=64時(shí)，得．則m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合條件，