有限元分析的基礎(chǔ)教程chapter3

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1、3彈性力學(xué)平面問題的有限元法本章包括以下的內(nèi)容：3.1彈性力學(xué)平面問題的基本方程3.2單元位移函數(shù)3.3單元載荷移置3.4單元剛度矩陣3.5單元剛度矩陣的性質(zhì)與物理意義3.6整體分析3.7約束條件的處理3.8整體剛度矩陣的特點與存儲方法3.9方程組解法3.1彈性力學(xué)平面問題的基本方程彈性力學(xué)是研究彈性體在約束和外載荷作用下應(yīng)力和變形分布規(guī)律的一門學(xué)科。在彈性力學(xué)中針對微小的單元體建立基本方程，把復(fù)雜形狀彈性體的受力和變形分析問題歸結(jié)為偏微分方程組的邊值問題。彈性力學(xué)的基本方程包括平衡方程、幾何方程、物理方程。彈性力學(xué)的基本假定如下：1）完全彈性，2）

2、連續(xù)，3）均勻，4）各向同性，5）小變形。3.1.1基本變量彈性力學(xué)中的基本變量為體力、面力、應(yīng)力、位移、應(yīng)變，各自的定義如下。體力體力是分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。面力面力是分布在物體表面上的力，例如接觸壓力、流體壓力。應(yīng)力物體受到約束和外力作用，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。物體內(nèi)某一點的內(nèi)力就是應(yīng)力。圖3.1如圖3.1假想用通過物體內(nèi)任意一點p的一個截面mn將物理分為Ⅰ、Ⅱ兩部分。將部分Ⅱ撇開，根據(jù)力的平衡原則，部分Ⅱ?qū)⒃诮孛鎚n上作用一定的內(nèi)力。在mn截面上取包含p點的微小面積，作用于面積上的內(nèi)力為。令無限減小而趨于p點時，的極限S就是物體在

3、p點的應(yīng)力。應(yīng)力S在其作用截面上的法向分量稱為正應(yīng)力，用σ表示；在作用截面上的切向分量稱為剪應(yīng)力，用τ表示。顯然，點p在不同截面上的應(yīng)力是不同的。為分析點p的應(yīng)力狀態(tài)，即通過p點的各個截面上的應(yīng)力的大小和方向，在p點取出的一個平行六面體，六面體的各楞邊平行于坐標(biāo)軸。圖3.2將每個上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力，分別與三個坐標(biāo)軸平行。用六面體表面的應(yīng)力分量來表示p點的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力分量的下標(biāo)約定如下：第一個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用面，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力的作用方向。，第一個下標(biāo)x表示剪應(yīng)力作用在垂直于X軸的面上，第二個下標(biāo)y表示剪應(yīng)力指向Y軸方向。正應(yīng)力

4、由于作用表面與作用方向垂直，用一個下標(biāo)。表示正應(yīng)力作用于垂直于X軸的面上，指向X軸方向。應(yīng)力分量的方向定義如下：如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的正方向，這個截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸正方向為正；如果某截面上的外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個截面上的應(yīng)力分量以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正。剪應(yīng)力互等：物體內(nèi)任意一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個獨(dú)立的應(yīng)力分量、、、、、來表示。位移位移就是位置的移動。物體內(nèi)任意一點的位移，用位移在x，y，z坐標(biāo)軸上的投影u、v、w表示。應(yīng)變物體的形狀改變可以歸結(jié)為長度和角度的改變。各線段的單位長度的伸縮，稱為正應(yīng)變，用ε表示。兩個垂直線段之間

5、的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應(yīng)變，用γ表示。物體內(nèi)任意一點的變形，可以用六個應(yīng)變分量表示。3.1.2平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題彈性體在滿足一定條件時，其變形和應(yīng)力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的變形和應(yīng)力的分布規(guī)律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。1）平面應(yīng)力問題設(shè)有很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。圖3.3設(shè)板的厚度為t，在板面上：，，由于平板很薄，外力不沿厚度變化，因此在整塊板上有，，，剩下平行于XY平面的三個應(yīng)力分量未知。2）平面應(yīng)變問題設(shè)有很長的柱

6、形體，支承情況不沿長度變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，體力也如此分布。圖3.4以柱體的任一橫截面為XY平面，任一縱線為Z軸。假定該柱體為無限長，則任一截面都可以看作對稱面。由對稱性，，，由于沒有Z方向的位移，Z方向的應(yīng)變。未知量為平行于XY平面的三個應(yīng)力分量，物體在Z方向處于自平衡狀態(tài)。3.1.3平衡方程彈性力學(xué)中，在物體中取出一個微小單元體建立平衡方程。平衡方程代表了力的平衡關(guān)系，建立了應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系。對于平面問題，在物體內(nèi)的任意一點有，（3-1）3.1.4幾何方程由幾何方程可以得到位移和變形之間的關(guān)系。對于平面

7、問題，在物體內(nèi)的任意一點有，（3-2）剛體位移由位移u=0，v=0可以得到應(yīng)變分量為零，反過來，應(yīng)變分量為零則位移分量不為零。應(yīng)變分量為零時的位移稱為剛體位移。剛體位移代表了物體在平面內(nèi)的移動和轉(zhuǎn)動。由可以得到剛體位移為以下形式，由可得，將代入可得，積分后得到，得到位移分量，當(dāng)時，物體內(nèi)任意一點都沿x方向移動相同的距離，可見代表物體在x方向上的剛體平移。當(dāng)時，物體內(nèi)任意一點都沿y方向移動相同的距離，可見代表物體在y方向上的剛體平移。當(dāng)時，可以假定，此時的物體內(nèi)任意一點P（x，y）的位移分量為，P點位移與y軸的夾角為α，P點合成位移為，r為P點到原點的

8、距離，可見ω代表物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動。3.1.5物理方程彈性力學(xué)平面問題的物理方程由廣義虎克定律得到。1）平