多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式

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1、多項(xiàng)式除法示例多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的一般步驟：　　多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式一般用豎式進(jìn)行演算　　（1）把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊．　?。?）用被除式的第一項(xiàng)去除除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng)．　　（3）用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項(xiàng)對齊），消去相等項(xiàng)，把不相等的項(xiàng)結(jié)合起來．　?。?）把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)為止．被除式=除式×商式+余式如果一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式，余式為零，就說這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的運(yùn)算多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，一般可用豎式計(jì)算，方

2、法與算術(shù)中的多位數(shù)除法相似，現(xiàn)舉例說明如下：例1計(jì)算規(guī)范解法∴解法步驟說明：（1）先把被除式與除式分別按字母的降冪排列好．（2）將被除式的第一項(xiàng)除以除式的第一項(xiàng)，得，這就是商的第一項(xiàng)．（3）以商的第一項(xiàng)與除式相乘，得，寫在的下面．（4）從減去，得差，寫在下面，就是被除式去掉后的一部分．（5）再用的第一項(xiàng)除以除式的第一項(xiàng)，得，這是商的第二項(xiàng)，寫在第一項(xiàng)的后面，寫成代數(shù)和的形式．（6）以商式的第二項(xiàng)5與除式相乘，得，寫在上述的差的下面．（7）相減得差0，表示恰好能除盡．（8）寫出運(yùn)算結(jié)果，例2計(jì)算．-11-規(guī)范解法∴……………………………余．注①遇到被除式或除式中缺項(xiàng)，用0補(bǔ)

3、位或空出；②余式的次數(shù)應(yīng)低于除式的次數(shù)．另外，以上兩例還可用分離系數(shù)法求解．如例2．∴……………………………余．8．什么是綜合除法？由前面的問題4我們知道兩個(gè)多項(xiàng)式相除可以用豎式進(jìn)行，但當(dāng)除式為一次式，而且它的首項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，情況比較特殊．如：計(jì)算．因?yàn)槌ㄖ粚ο禂?shù)進(jìn)行，和無關(guān)，于是算式（1）就可以簡化成算式（2）．還可以再簡化．方框中的數(shù)2、6、21和余式首項(xiàng)系數(shù)重復(fù)，可以不寫．再注意到，因除式的首項(xiàng)系數(shù)是1，所以余式的首項(xiàng)系數(shù)6、21與商式的系數(shù)重復(fù)，也可以省略．如果再把代數(shù)和中的“＋”號(hào)省略，除式的首項(xiàng)系數(shù)也省略，算式（2）就簡化成了算式（30的形式：-11-將算式

4、（3）改寫成比較好看的形式得算式（4），再將算式（4）中的除數(shù)－3換成它的相反數(shù)3，減法就化為了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三個(gè)數(shù)是商式的系數(shù)，末尾一個(gè)數(shù)是余數(shù)．多項(xiàng)式相除的這種算法，叫做綜合除法，它適合于除式為一次式，而且一次項(xiàng)系數(shù)為1．例1用綜合除法求除以的商式和余式．規(guī)范解法∴商式，余式＝10．例2用綜合除法證明能被整除．規(guī)范證法這里，所以綜合除法中的除數(shù)應(yīng)是－3．（注意被除式按降冪排列，缺項(xiàng)補(bǔ)0．）因余數(shù)是0，所以能被整除．當(dāng)除式為一次式，而一次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，需要把它變成1以后才能用綜合除法．．例3求除以的商式和余數(shù)．規(guī)范解法把除以2，化為，用綜合

5、除法．但是，商式，這是因?yàn)槌匠?，被除式?jīng)]變，商式擴(kuò)大了2倍，應(yīng)當(dāng)除以2才是所求的商式；余數(shù)沒有變．∴商式，余數(shù)．為什么余數(shù)不變呢？我們用下面的方法驗(yàn)證一下．-11-用除以，得商式，余數(shù)為，即∴．即除以的商式，余數(shù)仍為．綜合除法與余數(shù)定理綜合除法與余數(shù)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它們是研究多項(xiàng)式除法的有力工具。綜合除法和余數(shù)定理在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將作一些初步介紹。一、綜合除法一個(gè)一元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式，并不是總能整除。當(dāng)被除式除以除式得商式及余式時(shí)，就有下列等式：。其中的次數(shù)小于的次數(shù)，或者。當(dāng)時(shí)，就是能被整除。下面我們介紹一個(gè)一

6、元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式的簡便運(yùn)算——綜合除法。例1、用綜合除法求除以所得的商和余式。解：∴的商是，余式是8。上述綜合除法的步驟是：（1）把被除式按降冪排好，缺項(xiàng)補(bǔ)零。（2）把除式的第二項(xiàng)-2變成2，寫在被除式的右邊，中間用一條豎線隔開。（3）把被除式的第一項(xiàng)的系數(shù)2移到橫線的下面，得到商的第一項(xiàng)的系數(shù)。（4）用2乘商的第一項(xiàng)的系數(shù)2，得4，寫在被除式的第二項(xiàng)的系數(shù)-7的下面，同-7相加，得到商的第二項(xiàng)系數(shù)-3。（5）用2乘商的第二項(xiàng)的系數(shù)-3，得-6，寫在被除式的第三項(xiàng)的系數(shù)0的下面，同0相加，得到商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6。（6）用2乘商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6，得-12，寫

7、在被除式的第四項(xiàng)的系數(shù)14的下面，同14相加，得到商的第三項(xiàng)系數(shù)2。（7）用2乘商的常數(shù)項(xiàng)2，得4，寫在被除式的常數(shù)項(xiàng)4的下面，同4相加，得到余式8。前面討論了除式都是一次項(xiàng)系數(shù)為1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次項(xiàng)系數(shù)不是1，能不能利用綜合除法計(jì)算呢？-11-例2、求的商式Q和余式R。解：把除式縮小3倍，那么商就擴(kuò)大3倍，但余式不變。因此先用去除被除式，再把所得的商縮小3倍即可。∴Q=，R=6。下面我們將綜合除法做進(jìn)一步的推廣，使除式為二次或者二次以上的多項(xiàng)式時(shí)也能夠利用綜合除法來求商和余式。例3、用綜合除法求的商Q