常微分方程的數(shù)值解法

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1、第九章常微分方程的數(shù)值解法在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中，都會(huì)遇到常微分方程的求解問題。然而，我們知道，只有少數(shù)十分簡單的微分方程能夠用初等方法求得它們的解，多數(shù)情形只能利用近似方法求解。在常微分方程課中已經(jīng)講過的級(jí)數(shù)解法，逐步逼近法等就是近似解法。這些方法可以給出解的近似表達(dá)式，通常稱為近似解析方法。還有一類近似方法稱為數(shù)值方法，它可以給出解在一些離散點(diǎn)上的近似值。利用計(jì)算機(jī)解微分方程主要使用數(shù)值方法。我們考慮一階常微分方程初值問題在區(qū)間[a,b]上的解，其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值，將上述問題的精確解記為y(x)。數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)這里

2、差，i=0,1,…,n稱為由xi到xi+1的步長。這些hi可以不相等，但一般取成相等的，這時(shí)。在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分。泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個(gè)相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法?！?歐拉法與改進(jìn)歐拉法1.歐拉法1．對常微分方程初始問題用數(shù)值方法求解時(shí)，我們總是認(rèn)為(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。歐拉法是解初值問題的最簡單的數(shù)值方法。從（9.2）式由于y(x0)=y0已給定，因而可以算出設(shè)x1=h充分小，則近似地有：(9.3)記從而

3、我們可以取作為y(x1)的近似值。利用y1及f(x1,y1)又可以算出y(x2)的近似值：一般地，在任意點(diǎn)xn+1=(n+1)h處y(x)的近似值由下式給出（9.4）這就是歐拉法的計(jì)算公式，h稱為步長。不難看出，近似解的誤差首先是由差商近似代替微商（見(9.3)）引起的，這種近似代替所產(chǎn)生的誤差稱為截?cái)嗾`差。還有一種誤差稱為舍入誤差，這種誤差是由于利用（9.4）進(jìn)行計(jì)算時(shí)數(shù)值舍入引起的。例9.1用歐拉法求初值問題當(dāng)h=0.02時(shí)在區(qū)間[0,0.10]上的數(shù)值解。解把代入歐拉法計(jì)算公式。就得具體計(jì)算結(jié)果如下表：nxnyny(xn)en=y(xn)-yn001.00001.0000010.020

4、.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021在上表中y(xn)列，乃是初值問題（9.5）、（9.6）的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說，歐拉法計(jì)算簡便，對一些問題有較大的使用價(jià)值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。2．改進(jìn)歐拉法為了構(gòu)造比較精確的數(shù)值方法，我們從另一角度重新分析一下初值問題。一般說來，一階方程的初值問題與積分方程（9.7）是等價(jià)的，當(dāng)x=x1

5、時(shí)，（9.8）要得到y(tǒng)(x1)的值，就必須計(jì)算出（9.8）式右端的積分。但積分式中含有未知函數(shù)，無法直接計(jì)算,只好借助于數(shù)值積分。假如用矩形法進(jìn)行數(shù)值積分則因此有可見，用矩形法計(jì)算右端的積分與用歐拉法計(jì)出的結(jié)果完全相同。因此也可以說歐拉法的精度之所以很低是由于采用矩形法計(jì)算右端積分的結(jié)果?？梢韵胂?，用梯形公式計(jì)算（9.8）式右端的積分，可期望得到較高的精度。這時(shí)將這個(gè)結(jié)果代入（9.3）并將其中的y(x1)用y1近似代替，則得這里得到了一個(gè)含有y1的方程式，如果能從中解出y1，用它作為y(x1)的近似值，可以認(rèn)為比用歐拉法得出的結(jié)果要好些。仿照求y1的方法，可以逐個(gè)地求出y2,y3，…。一般地

6、當(dāng)求出yn以后，要求yn+1，則可歸結(jié)為解方程：這個(gè)方法稱為梯形法則。用梯形法則求解，需要解含有yn+1的方程式，這常常很不容易。為此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合，計(jì)算公式為（9.9）這就是先用歐拉法由(xn,yn)得出y(xn+1)的初始近似值，然后用（9.9）中第二式進(jìn)行迭代，反復(fù)改進(jìn)這個(gè)近似值，直到（e為所允許的誤差）為止，并把取作y(xn+1)的近似值yn+1。這個(gè)方法就叫改進(jìn)歐拉方法。顯然，應(yīng)用改進(jìn)歐拉法，如果序列收斂，它的極限便滿足方程即序列的極限可取作yn+1?？梢宰C明，如果有界，則只要h取得適當(dāng)小，上述序列必定收斂。這樣當(dāng)h取得充分小，就可保證上述迭代過程收斂到

7、一個(gè)解。當(dāng)步長h取得適當(dāng)時(shí)，歐拉方法算出的值已是較好的近似，因此改進(jìn)歐拉法收斂很快，通常只需二、三次迭代即可。如果迭代很多步仍不收斂，這表明表長h選的過大，應(yīng)縮小步長后再計(jì)算。通常把（9.9）叫做預(yù)報(bào)校正公式，其中第一式叫預(yù)報(bào)公式，第二式叫校正公式。這個(gè)公式還可寫為(9.9)’3．公式的截?cái)嗾`差現(xiàn)在來考察兩個(gè)公式的截?cái)嗾`差：有多大？這里假定前一步得的結(jié)果yn=y(xn)是準(zhǔn)確的。寫出y(xn+1)的泰勒展開式