數(shù)值積分與常微分方程的數(shù)值解法

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1、●Euler法及其改進(jìn)●Runge-Kutta法●梯形法●Simpson法●離散點數(shù)據(jù)的求積第三章數(shù)值積分與常微分方程的數(shù)值解法數(shù)值積分常微分方程的數(shù)值解法1.f(x)函數(shù)形式已知，但其積分不能表示成初等函數(shù)的閉合形式2.f(x)函數(shù)形式未知，但其離散數(shù)據(jù)表已給出3-1-1梯形法——方法原理基本思想：復(fù)化求積，即從近似計算為出發(fā)點，用有限項的求和計算來代替從而求出定積分的近似值。定步長：求f(x)在[a,b]上的定積分xyy=f(x)abxk-1xkhIkh——步長變步長：N個區(qū)間，h，T12N個區(qū)間，h/2，T2

2、T2-T1

3、

4、-1梯形法——方法原理例：Debye-Einstein公式推導(dǎo)得到計算固體熱容的公式為其中：?D為Debye溫度，R為氣體常數(shù)8.314JK-1mol-1已知固體的Debye溫度如下：PbAgCuAlFeKClNaClC?D/*K882153153984202272811910求在50，100，298.15，500，1500K時，各固體的熱容。3-2-1-1Simpson法——問題的提出求積分Simpson法是把積分區(qū)間分割成有限個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用二次拋物線來近似被積函數(shù)f(x)的圖形，近似求出小區(qū)間的面積，然后再將有限個小區(qū)間相加得到被積函數(shù)的近似值。xyy=f(x

5、)xi-1xi+1xiy=g(x)hhSi定步長:3-2-1-2Simpson法——方法原理變步長：其中：3-2-1-2Simpson法——方法原理判據(jù)：3-2-1-2Simpson法——方法原理3-2-1-3Simpson法——程序框圖Simp(A,B,EPS,S2,F)N=1,H=B-A,S1=0,T1=H*(F(A)+F(B))/2DOK=1，NS=0S=S+F(A+(K-1/2)*H)T2=(T1+H*S)/2,S2=T2+(T2-T1)/3,D=

6、S2-S1

7、

8、S2

9、>1D=

10、(S2-S1)/S2

11、D

12、=S2Yes3-2-1-4Simpson法——應(yīng)用示例開始輸入：Debye溫度T（5），精度EPS，溫度THETA輸出：固體的熱容Cv結(jié)束調(diào)用Simpson積分法子程序計算式右方積分值S2計算：XM=THETA/T(I)(I=1,N)輸入：積分上下限A=10-4，B=XMB=0YesNo固體的熱容Cv=9R/XM**3*S2顯示程序顯示輸出3-1-3–1離散點數(shù)據(jù)的求積——方法原理實驗時，得不到變量間的關(guān)系式，只測量到（xi,yi）的離散點數(shù)據(jù)。xyab方法：1.用插值程序求任意點的函數(shù)值。一元三點Lagrange插值：2．用Simpson求積程序計算[a,b]區(qū)間中離散點下的

13、面積。Simp(M,A,B,X,Y,EPS,S2)N=1,H=B-A,（1）；S1=0,T1=H*(F(A)+F(B))/2DOK=1，NS=0（2）；S=S+F(A+(K-1/2)*H)T2=(T1+H*S)/2,S2=T2+(T2-T1)/3,D=

14、S2-S1

15、

16、S2

17、>1D=

18、(S2-S1)/S2

19、D

20、1）積分，并取極低壓力下氣體視為理想氣體，得逸度：φ為逸度系數(shù)（2）例1：實際氣體逸度的計算已知p~Vm數(shù)據(jù)3-1-3–3離散點數(shù)據(jù)的求積——應(yīng)用示例開始輸入：數(shù)據(jù)點數(shù)N，精度EPS，溫度T壓力p和摩爾體積Vm的實驗數(shù)據(jù)X(I),Y(I)（I=1，N）輸出：B,FI,FF結(jié)束調(diào)用離散點求積子程序計算（2）式右方積分值S計算：Y(I)=1/X(I)-Y(I)/RT(I=1,N)輸入：要計算的壓力P，積分上下限A=0，B=PB=0YN逸度系數(shù)FI=EXP(S),逸度FF=FI*B例2：已知固體Pb的熱容Cp~溫度T數(shù)據(jù)，求從15K到550K的固體Pb的焓變。例3：分子標(biāo)準(zhǔn)熵S及Cp

21、~T數(shù)據(jù)，求500K時的熵S值。T1：298.15KT2:500K3-1-3–3離散點數(shù)據(jù)的求積——應(yīng)用示例已知數(shù)據(jù)例4：合成氨反應(yīng)焓變?H與溫度T數(shù)據(jù)，已知623K下Kp1，求773K下Kp2。T/K623.0648.0637.0698.0723.0748.0773.0?H/kJ·mol-1-50.7879-51.1390-51.4738-51.7943-52.1006-52.3929-52.67153-1-3–3離散點數(shù)據(jù)的求積——應(yīng)用示例開始輸入：焓變與溫度的實驗數(shù)據(jù)X(I),Y(I)