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《勾股定理(畢達哥拉斯定理)及各種證明方法》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)勾股定理是一個初等幾何定理,是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一,用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一,也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理是余弦定理的一個特例。勾股定理約有400種證明方法,是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股數(shù)組方程a2+b2=c2的正整數(shù)組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數(shù)。也就是說,設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,
2、那么。勾股定理的逆定理命題2如果三角形的三邊長a,b,c滿足,那么這個三角形是直角三角形。【證法1】(趙爽證明)以a、b為直角邊(b>a),以c為斜邊作四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o,∴∠EAB+∠HAD=90o,∴ABCD是一個邊長為c的正方形,它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形,它的面積等于.∴∴.【證法2】(課本的證明)做8個全等的直角三角
3、形,設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到,這兩個正方形的邊長都是a+b,所以面積相等.即,整理得.【證法3】(1876年美國總統(tǒng)Garfield證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊作兩個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀,使A、E、B三點在一條直線上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC是一個等腰
4、直角三角形,它的面積等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一個直角梯形,它的面積等于∴.∴.【趣聞】:在1876年一個周末的傍晚,在美國華盛頓的郊外,有一位中年人正在散步,欣賞黃昏的美景,他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁矗瑫r而大聲爭論,時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去,想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是伽菲爾德便問他們在干什么?只見那個小男孩頭也不抬地說:“請問
5、先生,如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢?”伽菲爾德答到:“是5呀。”小男孩又問道:“如果兩條直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少?”伽菲爾德不加思索地回答到:“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?!毙∧泻⒂终f道:“先生,你能說出其中的道理嗎?”伽菲爾德一時語塞,無法解釋了,心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步,立即回家,潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過反復的思考與演算,終于弄清楚了其中的道理,并給出了簡潔的證明方法。1876年4月1日,伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。18
6、81年,伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后來,人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明,就把這一證法稱為“總統(tǒng)。”證法?!咀C法4】(歐幾里得證明)做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使H、C、B三點在一條直線上,連結(jié)BF、CD.過C作CL⊥DE,交AB于點M,交DE于點L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,∵ΔFAB的面積等于,ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半,∴矩形ADLM的面積=.同理可證,矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積∴
7、,即.【證法5】(利用相似三角形性質(zhì)證明)如圖,在RtΔABC中,設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CD⊥AB,垂足是D.在ΔADC和ΔACB中,∵∠ADC=∠ACB=90o,∠CAD=∠BAC,∴ΔADC∽ΔACB.∴AD∶AC=AC∶AB,即.同理可證,ΔCDB∽ΔACB,從而有.∴,即【證法6】(鄒元治證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀,使A、E、B三點在一條直線上,B、F、C三點在一條直線上,C、G、D三點在一條直線上.∵RtΔHA
8、E≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90o,∴∠AEH