容斥原理之三者容斥問題

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1、http://jinhua.offcn.com容斥原理之三者容斥問題浙江行測答題技巧：容斥原理之三者容斥問題中公教育考試研究院宋麗娜：容斥原理是行測數(shù)學運算中?？贾R點。容斥原理是指在計數(shù)時，必須注意無一重復，且無遺漏。這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。例1：一個班級的學生數(shù)學和語文每人至少喜歡其中一種，其中喜歡數(shù)學課的有49人，喜歡語文課的有52人，二者都喜歡的有21人，則這個班級有多少人?中公點撥：本題就是一個容斥問

2、題，解決此問題的方法就是先算：49+52=101(把含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來)，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去即：101-21=80人，則整個班級的人數(shù)就有80人。三者容斥問題是行測數(shù)學運算中常考也相對較復雜的容斥問題。所謂三者容斥是指在題干中有三種集合(集合就是具有共同屬性所以元素的的整體，例如上題中喜歡數(shù)學的人構成一個集合)。三者容斥問題有一個基本公式：A，B，C代表三個集合，則有A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C這個公式表達的含義是，A+B+C再減去兩兩相交之后，中間E(即A∩B∩C)這部分被減沒了。而容斥原理的基本思

3、想是計數(shù)時不重復不漏掉，故要再加回來，所以又加了一個A∩B∩C。例2.實驗小學的小記者對本校100名同學進行調(diào)查，調(diào)查他們對三種大球(籃球、足球、排球)的與否。結果顯示：他們都至少喜歡三種大球中的一種，其中有58人喜歡籃球，有68人喜歡足球，有62人喜歡排球，而且，籃球和足球都喜歡的有45人，足球和排球都喜歡的有33人，三種球都喜歡的有12人?；@球和排球都喜歡的多少人?http://jinhua.offcn.com中公教育解析：由題意可畫圖如下：則有上述公式可知：58+68+62-45-33-籃球和排球都喜歡+12=100人故喜歡籃球和排球的人有22人。例3.實驗小學

4、的小記者對本校100名同學進行調(diào)查，調(diào)查他們對三種大球(籃球、足球、排球)的與否。結果顯示：其中有58人喜歡籃球，有68人喜歡足球，有62人喜歡排球，而且，籃球和足球都喜歡的有45人，足球和排球都喜歡的有33人，三種球都喜歡的有12人，還有5人三種球都不喜歡，則籃球和排球都喜歡的多少人?中公教育解析：本題和上題相比，較一般的三者容斥更為復雜。因為，題干中所出現(xiàn)的喜歡籃球、喜歡足球、喜歡排球的三種集合都是在全集100人中考查，且題干中出現(xiàn)了同時不屬于這三種集合的元素。中公點撥：此類型題的做法大家只要記住構造全集即可，題干中不知道的設為未知數(shù)。外框的長方形代表全集，用I來

5、表示，D代表同時不屬于集合A，B，C三個集合的元素。構造全集I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+D由此可得本題：設籃球和排球都喜歡的有x人，則有http://jinhua.offcn.com100=58+68+62-45-33-x+12+5解得x=27。中公教育專家提醒考生：容斥問題的關鍵在于計數(shù)時不能重復，不能漏掉。如三者容斥這種比較復雜的容斥問題可以現(xiàn)根據(jù)題意畫出其圖形(叫文氏圖)，然后再根據(jù)公式及題干所求問題計算。本文來源：金華中公教育