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《數(shù)值計(jì)算答案解析石瑞民》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、習(xí)題一1、取3.14,3.15,,作為的近似值,求各自的絕對(duì)誤差,相對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。解:所以,有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差:,相對(duì)誤差:絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差限:所以,有兩位有效數(shù)字絕對(duì)誤差:,相對(duì)誤差:絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差限:所以,有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差:,相對(duì)誤差:絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差限:所以,有七位有效數(shù)字絕對(duì)誤差:,相對(duì)誤差:絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差限:3、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)四舍五入后得到的近似數(shù),試分別指出它們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限,有效數(shù)字的位數(shù)。解:m=-1所以,n=3,有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差:m=0
2、所以,n=4,有四位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差:m=2所以,n=4,有四位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差:m=4所以,n=4,有四位有效數(shù)字絕對(duì)誤差限:,相對(duì)誤差:4、計(jì)算的近似值,使其相對(duì)誤差不超過(guò)。解:設(shè)取位有效數(shù)字,由定理1.1知,由…,所以,由題意,應(yīng)使,即所以,n=4,即的近似值取4位有效數(shù)字近似值6、在機(jī)器數(shù)系下中取三個(gè)數(shù),,,試按和兩種算法計(jì)算的值,并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解:所以,比精確,且與相同;因此,在做三個(gè)以上的數(shù)相加時(shí),需要考慮相加的兩個(gè)同號(hào)數(shù)的階數(shù)盡量接近。8、對(duì)于有效數(shù),,,估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限。,,
3、解:,m=1;所以同理或或或所以,所以,所以,綜合得:,,9、試改變下列表達(dá)式,使其結(jié)果比較精確(其中表示x充分接近0,表示充分大)。(1),(2),(3),(4),(5),答案:(1);(3),(4)法一:用得出結(jié)果為:法二:或12、試給出一種計(jì)算積分近似值的穩(wěn)定性遞推算法解:顯然,In>0,n=1,2,…當(dāng)n=1時(shí),得,當(dāng)n≥2時(shí),由分部積分可得:,n=2,3,…另外,還有:由遞推關(guān)系In=1-nIn-1,可得計(jì)算積分序列{}的兩種算法:①n=2,3…②,下面比較兩種算法的穩(wěn)定性①若已知的一個(gè)近似值,則實(shí)際算得的的近似值為所以,由此
4、可以看出的誤差放大n倍傳到了,誤差傳播速度逐步放大②由計(jì)算若已知的一個(gè)近似值是,則實(shí)際計(jì)算的的近似值為所以,由此可以看出的誤差將縮小n倍傳到了,誤差傳播速度逐步衰減。綜上可看出,計(jì)算積分的一種穩(wěn)定性算法為習(xí)題二1、利用二分法求方程[3,4]內(nèi)的根,精確到,即誤差不超過(guò)。解:令,,說(shuō)明在[3,4]內(nèi)有根,利用二分法計(jì)算步驟得出,滿足精度要求所以,,共用二分法迭代11次。2、證明在[0,1]內(nèi)有一個(gè)根,使用二分法求誤差不大于的根。證明:令,所以,由零點(diǎn)定理知,在[0,1]內(nèi)有一根根據(jù)計(jì)算得出:,此時(shí)共迭代15次。4、將一元非線性方程寫(xiě)成收斂
5、的迭代公式,并求其在附近的根,精確到。解:令令=0,得到兩種迭代格式①,不滿足收斂定理。②,滿足收斂定理由方程寫(xiě)出收斂的迭代公式為取初值為,得出近似根為:5、為方程在附近的一個(gè)根,設(shè)方程改寫(xiě)為下列等價(jià)形式,并建立相應(yīng)的迭代公式:(1),迭代公式;(2),迭代公式(3),迭代公式解:(1)利用局部收斂定理判斷收斂性,判斷初值附近的局部收斂(2)局部收斂(3)不滿足局部收斂條件但由于,所以比收斂的慢取第二種迭代格式取初值,迭代9次得7、用牛頓法求解在初始值臨近的一個(gè)正根,要求。解:令由牛頓迭代法知:迭代結(jié)果為:012321.888891.8
6、79451.87939滿足了精度要求,8、用牛頓法解方程,導(dǎo)出計(jì)算C的倒數(shù)而不用除法的一種簡(jiǎn)單迭代公式,用此公式求0.324的倒數(shù),設(shè)初始值,要求計(jì)算結(jié)果有5位有效數(shù)字。解:,由牛頓迭代公式迭代結(jié)果為:012333.0843.0864183.086420滿足精度要求所以,0.324的倒數(shù)為3.086411、用快速弦截法求方程在附近的實(shí)根,(取=1.9,要求精度到)。解:,迭代結(jié)果:0123421.91.8810941.879411601.87939滿足精度要求12、分別用下列方式求方程在附近的根,要求有三位有效數(shù)字(1)用牛頓法,取(2
7、)用弦截法,?。?)用快速弦截法,取解:求出的解分別為:習(xí)題三1、用高斯消元法解下列方程組(1)(2)解:(1)等價(jià)的三角形方程組為,回代求解為(2)等價(jià)的三角形方程組為,回代求解為2、將矩陣作分解。解:,3、用緊湊格式分解法解方程組解:,,.4、用列主元的三角分解法求解方程組解:,,,5、用追趕法解三角方程組,其中,.解:,,6.用改進(jìn)的Cholesky分解法解方程組解:,,,7、用改進(jìn)的cholesky分解法解方程組解:,,8、設(shè),求。解:9、設(shè),求解:,,10、設(shè),,計(jì)算,及,并比較和的大小。解:,=10,=911、給定方程(1)
8、寫(xiě)出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式;(2)證明Jacobi迭代法收斂而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散;(3)給定,用迭代法求出該方程的解,精確到。解:(1)Jacobi迭代公式Gauss