跨滑輪繩連接物體系的牛頓第二定律

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1、跨滑輪繩連接物體系的牛頓第二定律湖北省恩施高中陳恩譜一、問(wèn)題的緣起AB【例1】如圖所示，物體A和B由跨過(guò)輕質(zhì)滑輪的輕繩連接后豎直懸掛，然后由靜止釋放，已知A的質(zhì)量為m、B的質(zhì)量為M，且M＞m，不計(jì)一切摩擦，求A上升的加速度。本題常見(jiàn)兩種解法，如下：解法一：設(shè)繩中張力為FT，則由牛頓第二定律，對(duì)A，有：FT－mg=maA，對(duì)B，有Mg－FT=MaB，其中：aA=aB，聯(lián)立解得：。解法二：選A、B、輕繩系統(tǒng)為研究對(duì)象，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有：Mg－mg=(M+m)a，解得：?！举|(zhì)疑】按常規(guī)理解，第二種解法存在一些明顯的問(wèn)題：等式左邊，兩個(gè)重力方向均向下，按矢

2、量合成規(guī)則，怎么能夠相減？等式右邊，aA、aB兩個(gè)加速度方向相反，MaB和maA怎么能夠相加？而且，真的選A、B、輕繩系統(tǒng)為研究對(duì)象，其受力還有滑輪對(duì)整體向上的彈力F，且系統(tǒng)的牛頓第二定律的方程應(yīng)為：Mg+mg－F=Ma-ma?！窘忉尅慨?dāng)然，我們可以認(rèn)為，解法二的方程實(shí)際上是解法一兩個(gè)方程聯(lián)立得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論式，沒(méi)有物理意義?？墒?，列解法二方程時(shí)，我們的解釋往往是：我們研究的是A、B沿繩的運(yùn)動(dòng)——A、B沿繩運(yùn)動(dòng)的加速度相同，沿繩方向看，兩個(gè)重力的方向相反，所以有：Mg－mg=(M+m)a。明顯，這種理解是有物理意義的，那么，前面的質(zhì)疑又如何回應(yīng)？或者說(shuō)這

3、種理解是不科學(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?二、問(wèn)題的解決1、曲線坐標(biāo)系下物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)·Os在上述問(wèn)題中，我們可以在繩上取某個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，規(guī)定從物體A經(jīng)滑輪到物體B為該曲線的“正方向”，從而建立起一個(gè)描述物體運(yùn)動(dòng)位置的“曲線坐標(biāo)系”。如果物體沿繩運(yùn)動(dòng)，則其沿繩運(yùn)動(dòng)的加速度即為自然坐標(biāo)系下的切向加速度，由牛頓第二定律，有：；如果物體不沿繩運(yùn)動(dòng)，我們可以將物體運(yùn)動(dòng)分解到垂直繩和沿繩方向，物體沿繩方向的加速度可根據(jù)極坐標(biāo)系等求出，沿繩方向仍然有動(dòng)力學(xué)方程：?！mgMgas2、跨滑輪繩連接物體系的牛頓第二定律在前述例題中，若我們沿繩建立曲線坐標(biāo)系，規(guī)定從A經(jīng)滑輪到B為正方向，則

4、分別對(duì)兩物體列動(dòng)力學(xué)方程，有：對(duì)A：對(duì)B：其中：aA=aB=a，前兩式相加，得：Mg－mg=(M+m)a此式即為A、B、輕繩系統(tǒng)在曲線坐標(biāo)系下的牛頓第二定律方程，其理解就是：B均沿繩的運(yùn)動(dòng)——沿繩方向看，A、B沿繩運(yùn)動(dòng)的加速度相同，兩個(gè)重力的方向相反，所以有：Mg－mg=(M+m)a【例2】如圖所示，壓力傳感器能測(cè)量物體對(duì)其正壓力的大小，現(xiàn)將質(zhì)量分別為M、m的物塊和小球通過(guò)輕繩固定，并跨過(guò)兩個(gè)水平固定的定滑輪（滑輪光滑且較?。?dāng)小球在豎直面內(nèi)左右擺動(dòng)且高度相等時(shí)，物塊始終沒(méi)有離開(kāi)水平放置的傳感器．已知小球擺動(dòng)偏離豎直方向的最大角度為θ，滑輪O到小球間細(xì)線

5、長(zhǎng)度為l，重力加速度為g，求：小球擺到最低點(diǎn)時(shí)，壓力傳感器示數(shù)為0，則M/m的大?。窘馕觥吭O(shè)小球在最低點(diǎn)速度為v，則由機(jī)械能守恒，有·O’Mgmgs當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，沿繩方向建立如圖所示曲線坐標(biāo)系；此時(shí)，物塊M沿繩的加速度為零，但小球m繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，因此有沿繩方向的加速度，則由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有解得：三、對(duì)物體系的牛頓第二定律的一個(gè)說(shuō)明物體系的牛頓第二定律的方程的得來(lái)，是先用隔離法分別對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體列牛頓第二定律的方程，然后幾個(gè)方程相加而得來(lái)，在相加過(guò)程中，我們做了一個(gè)“數(shù)學(xué)處理”——作用力和反作用力等大反向，“相加為零”。這個(gè)數(shù)學(xué)處理，從

6、物理角度來(lái)說(shuō)是不合適的，作用力和反作用力分別作用在系統(tǒng)內(nèi)不同物體上，其效果是不能疊加的，因此“相加為零”是不合適的。從這個(gè)意義上講，物體系的牛頓第二定律的方程是一個(gè)數(shù)學(xué)方程，不具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢硪饬x。很多學(xué)生很難理解物體系的牛頓第二定律，他們常常問(wèn)的問(wèn)題是：作用在A上的外力，如何能夠在B上產(chǎn)生加速度？AB但是，這個(gè)數(shù)學(xué)方程用起來(lái)是方便的，因?yàn)樵摲匠讨袥](méi)有內(nèi)力，所以列出的方程簡(jiǎn)單。在用曲線坐標(biāo)系處理跨滑輪繩連接物體系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩中張力即是內(nèi)力，且等大、反向，因此也沒(méi)有出現(xiàn)在方程中。此時(shí)用物體系的牛頓第二定律還避免了滑輪彈力（其方向是垂直繩的）的引入，大大簡(jiǎn)化了方

7、程和計(jì)算。四、應(yīng)用示例【例3】如圖·OmgMgaFfsFN所示，固定的粗糙斜面頂端有一個(gè)輕質(zhì)滑輪，物體A和B由跨過(guò)滑輪的輕繩連接，然后由靜止釋放，已知斜面傾角為θ，A物體與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，A的質(zhì)量為m、B的質(zhì)量為M，且M＞m，輕繩足夠長(zhǎng)，求B下降的加速度?！窘馕觥咳鐖D，沿繩建立曲線坐標(biāo)系，規(guī)定從A經(jīng)滑輪到B為正方向，則對(duì)A、B、輕繩系統(tǒng)，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有Mg－mgsinθ－μmgcosθ=(M+m)a解得：【例4】如圖ABhα所示，質(zhì)量為m的物體A靜止放在光滑水平地面上，跨過(guò)等高的兩個(gè)輕質(zhì)小滑輪的輕繩將其與質(zhì)量為M=2m的物體B連接。已知兩小滑

8、輪到地面高度h，開(kāi)始時(shí)繩與水平方向夾角為，現(xiàn)由靜止釋放A、B，此后