跨滑輪繩連接物體系的牛頓第二定律

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1、跨滑輪繩連接物體系的牛頓第二定律湖北省恩施高中陳恩譜一、問題的緣起AB【例1】如圖所示，物體A和B由跨過輕質(zhì)滑輪的輕繩連接后豎直懸掛，然后由靜止釋放，已知A的質(zhì)量為m、B的質(zhì)量為M，且M＞m，不計一切摩擦，求A上升的加速度。本題常見兩種解法，如下：解法一：設(shè)繩中張力為FT，則由牛頓第二定律，對A，有：FT－mg=maA，對B，有Mg－FT=MaB，其中：aA=aB，聯(lián)立解得：。解法二：選A、B、輕繩系統(tǒng)為研究對象，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有：Mg－mg=(M+m)a，解得：。【質(zhì)疑】按常規(guī)理解，第二種解法存在一些明顯的問題：等式左邊，兩個重力方向均向下，按矢

2、量合成規(guī)則，怎么能夠相減？等式右邊，aA、aB兩個加速度方向相反，MaB和maA怎么能夠相加？而且，真的選A、B、輕繩系統(tǒng)為研究對象，其受力還有滑輪對整體向上的彈力F，且系統(tǒng)的牛頓第二定律的方程應(yīng)為：Mg+mg－F=Ma-ma?！窘忉尅慨?dāng)然，我們可以認(rèn)為，解法二的方程實際上是解法一兩個方程聯(lián)立得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)論式，沒有物理意義?？墒牵薪夥ǘ匠虝r，我們的解釋往往是：我們研究的是A、B沿繩的運動——A、B沿繩運動的加速度相同，沿繩方向看，兩個重力的方向相反，所以有：Mg－mg=(M+m)a。明顯，這種理解是有物理意義的，那么，前面的質(zhì)疑又如何回應(yīng)？或者說這

3、種理解是不科學(xué)、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?二、問題的解決1、曲線坐標(biāo)系下物體運動的動力學(xué)·Os在上述問題中，我們可以在繩上取某個點為原點，規(guī)定從物體A經(jīng)滑輪到物體B為該曲線的“正方向”，從而建立起一個描述物體運動位置的“曲線坐標(biāo)系”。如果物體沿繩運動，則其沿繩運動的加速度即為自然坐標(biāo)系下的切向加速度，由牛頓第二定律，有：；如果物體不沿繩運動，我們可以將物體運動分解到垂直繩和沿繩方向，物體沿繩方向的加速度可根據(jù)極坐標(biāo)系等求出，沿繩方向仍然有動力學(xué)方程：?！mgMgas2、跨滑輪繩連接物體系的牛頓第二定律在前述例題中，若我們沿繩建立曲線坐標(biāo)系，規(guī)定從A經(jīng)滑輪到B為正方向，則

4、分別對兩物體列動力學(xué)方程，有：對A：對B：其中：aA=aB=a，前兩式相加，得：Mg－mg=(M+m)a此式即為A、B、輕繩系統(tǒng)在曲線坐標(biāo)系下的牛頓第二定律方程，其理解就是：B均沿繩的運動——沿繩方向看，A、B沿繩運動的加速度相同，兩個重力的方向相反，所以有：Mg－mg=(M+m)a【例2】如圖所示，壓力傳感器能測量物體對其正壓力的大小，現(xiàn)將質(zhì)量分別為M、m的物塊和小球通過輕繩固定，并跨過兩個水平固定的定滑輪（滑輪光滑且較?。?，當(dāng)小球在豎直面內(nèi)左右擺動且高度相等時，物塊始終沒有離開水平放置的傳感器．已知小球擺動偏離豎直方向的最大角度為θ，滑輪O到小球間細(xì)線

5、長度為l，重力加速度為g，求：小球擺到最低點時，壓力傳感器示數(shù)為0，則M/m的大小．【解析】設(shè)小球在最低點速度為v，則由機械能守恒，有·O’Mgmgs當(dāng)小球運動到最低點時，沿繩方向建立如圖所示曲線坐標(biāo)系；此時，物塊M沿繩的加速度為零，但小球m繞O點做圓周運動，因此有沿繩方向的加速度，則由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有解得：三、對物體系的牛頓第二定律的一個說明物體系的牛頓第二定律的方程的得來，是先用隔離法分別對系統(tǒng)內(nèi)各個物體列牛頓第二定律的方程，然后幾個方程相加而得來，在相加過程中，我們做了一個“數(shù)學(xué)處理”——作用力和反作用力等大反向，“相加為零”。這個數(shù)學(xué)處理，從

6、物理角度來說是不合適的，作用力和反作用力分別作用在系統(tǒng)內(nèi)不同物體上，其效果是不能疊加的，因此“相加為零”是不合適的。從這個意義上講，物體系的牛頓第二定律的方程是一個數(shù)學(xué)方程，不具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢硪饬x。很多學(xué)生很難理解物體系的牛頓第二定律，他們常常問的問題是：作用在A上的外力，如何能夠在B上產(chǎn)生加速度？AB但是，這個數(shù)學(xué)方程用起來是方便的，因為該方程中沒有內(nèi)力，所以列出的方程簡單。在用曲線坐標(biāo)系處理跨滑輪繩連接物體系的運動時，繩中張力即是內(nèi)力，且等大、反向，因此也沒有出現(xiàn)在方程中。此時用物體系的牛頓第二定律還避免了滑輪彈力（其方向是垂直繩的）的引入，大大簡化了方

7、程和計算。四、應(yīng)用示例【例3】如圖·OmgMgaFfsFN所示，固定的粗糙斜面頂端有一個輕質(zhì)滑輪，物體A和B由跨過滑輪的輕繩連接，然后由靜止釋放，已知斜面傾角為θ，A物體與斜面的動摩擦因數(shù)μ，A的質(zhì)量為m、B的質(zhì)量為M，且M＞m，輕繩足夠長，求B下降的加速度。【解析】如圖，沿繩建立曲線坐標(biāo)系，規(guī)定從A經(jīng)滑輪到B為正方向，則對A、B、輕繩系統(tǒng)，由系統(tǒng)的牛頓第二定律，有Mg－mgsinθ－μmgcosθ=(M+m)a解得：【例4】如圖ABhα所示，質(zhì)量為m的物體A靜止放在光滑水平地面上，跨過等高的兩個輕質(zhì)小滑輪的輕繩將其與質(zhì)量為M=2m的物體B連接。已知兩小滑

8、輪到地面高度h，開始時繩與水平方向夾角為，現(xiàn)由靜止釋放A、B，此后