..平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

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1、2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學重點：平面向量的數(shù)量積定義教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學過程：一、復習引入：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量與，作＝，＝，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角.說明：（1）當θ＝０時，與同向；（2）當θ＝π時，與反向；（3）當θ＝時，與垂直，記⊥；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的

2、.范圍是0°≤q≤180°（2）兩向量共線的判定定理（3）練習1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，則y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W=

3、

4、

5、

6、cosq，q是與的夾角.功是標量，力和位移是向量，功是由力和位移確定的，類比這種運算，我們引入“數(shù)量積”的概念。二、講解新課：1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量││││cosq叫與的數(shù)量積，記作，即有=││││cosq，（其中０≤θ≤π）.并規(guī)

7、定：向量與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量？它的符號什么時候為正？什么時候為負？2、兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？【平面向量數(shù)量積的幾點說明】（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；書寫時要特別注意：.符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若1，且=0，不能推出=因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bcTa=c.

8、但是==如右圖：=││││cosb=│││OA│，=││││cosa=│││OA│T=但1(5)在實數(shù)中，有(a×b)c=a(b×c)，但是()1()顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.2．“投影”的概念：作圖定義：││cosq叫做向量在方向上的投影.投影是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q=0°時投影為││；當q=180°時投影為-││.3．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影││cosq的乘積.探究1、：兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩

9、個非零向量，1、^?=02、當與同向時，=

10、

11、

12、

13、；當與反向時，=-

14、

15、

16、

17、.特別的×=

18、

19、2或││≤

20、

21、

22、

23、cosq=探究2、：平面向量數(shù)量積的運算律（1）．交換律：=（2）．數(shù)乘結(jié)合律：()×=(×)=×()（3）．分配律：(+)×=×+×說明：（1）一般地，(·)≠（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性質(zhì)：２＝｜｜２，（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·三、講解范例：例1．證明：①(＋)２＝２＋２·＋２②(＋)(-)=２-２例2．已知││=12，││=9，，求與的夾角θ。例3．已知││=6，││=4，與的夾角為60o求：（1）(+2)·(-3).（2

24、）│+│與│-│.（利用）例4．已知││=3，││=4，且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直.四、課堂練習：1．課后練習1、2、3、題2．已知││=8，││=10，│+│=16，與的夾角θ的余弦.五、課堂小結(jié)：1．平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3．向量垂直的條件.六、作業(yè)布置：習題2.4A組1、2、3、題