..平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

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1、2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的:1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義;2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律;3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題;4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn):平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入:(1)兩個(gè)非零向量夾角的概念:已知非零向量與,作=,=,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫與的夾角.說明:(1)當(dāng)θ=0時(shí),與同向;(2)當(dāng)θ=π時(shí),與反向;(3)當(dāng)θ=時(shí),與垂直,記⊥;(4)注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的

2、.范圍是0°≤q≤180°(2)兩向量共線的判定定理(3)練習(xí)1.若=(2,3),=(4,-1+y),且∥,則y=()A.6B.5C.7D.82.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三點(diǎn)共線,則x的值為()A.-3B.-1C.1D.3(4)力做的功:W=

3、

4、

5、

6、cosq,q是與的夾角.功是標(biāo)量,力和位移是向量,功是由力和位移確定的,類比這種運(yùn)算,我們引入“數(shù)量積”的概念。二、講解新課:1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角是θ,則數(shù)量││││cosq叫與的數(shù)量積,記作,即有=││││cosq,(其中0≤θ≤π).并規(guī)

7、定:向量與任何向量的數(shù)量積為0.×探究:1、向量數(shù)量積是一個(gè)向量還是一個(gè)數(shù)量?它的符號(hào)什么時(shí)候?yàn)檎??什么時(shí)候?yàn)樨?fù)?2、兩個(gè)向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別?【平面向量數(shù)量積的幾點(diǎn)說明】(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是向量,符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積,寫成;書寫時(shí)要特別注意:.符號(hào)“”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào),既不能省略,也不能用“×”代替.(3)在實(shí)數(shù)中,若a10,且a×b=0,則b=0;但是在數(shù)量積中,若1,且=0,不能推出=因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10),則ab=bcTa=c.

8、但是==如右圖:=││││cosb=│││OA│,=││││cosa=│││OA│T=但1(5)在實(shí)數(shù)中,有(a×b)c=a(b×c),但是()1()顯然,這是因?yàn)樽蠖耸桥c共線的向量,而右端是與共線的向量,而一般與不共線.2.“投影”的概念:作圖定義:││cosq叫做向量在方向上的投影.投影是一個(gè)數(shù)量,不是向量;當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)q為直角時(shí)投影為0;當(dāng)q=0°時(shí)投影為││;當(dāng)q=180°時(shí)投影為-││.3.向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積等于的長度與在方向上投影││cosq的乘積.探究1、:兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)、為兩

9、個(gè)非零向量,1、^?=02、當(dāng)與同向時(shí),=

10、

11、

12、

13、;當(dāng)與反向時(shí),=-

14、

15、

16、

17、.特別的×=

18、

19、2或││≤

20、

21、

22、

23、cosq=探究2、:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1).交換律:=(2).?dāng)?shù)乘結(jié)合律:()×=(×)=×()(3).分配律:(+)×=×+×說明:(1)一般地,(·)≠(·)(2)·=·,≠=(3)有如下常用性質(zhì):2=||2,(+)(+)=·+·+·+·三、講解范例:例1.證明:①(+)2=2+2·+2②(+)(-)=2-2例2.已知││=12,││=9,,求與的夾角θ。例3.已知││=6,││=4,與的夾角為60o求:(1)(+2)·(-3).(2

24、)│+│與│-│.(利用)例4.已知││=3,││=4,且與不共線,k為何值時(shí),向量+k與-k互相垂直.四、課堂練習(xí):1.課后練習(xí)1、2、3、題2.已知││=8,││=10,│+│=16,與的夾角θ的余弦.五、課堂小結(jié):1.平面向量的數(shù)量積及其幾何意義;2.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律;3.向量垂直的條件.六、作業(yè)布置:習(xí)題2.4A組1、2、3、題

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