一“動”一“靜”一“數(shù)”一“形”

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1、一“動”一“靜”一“數(shù)”一“形”　　【摘要】直線與圓是解析幾何的初步，高考的?？?，有關(guān)最值問題更是考查的熱點，利用圓的圖形性質(zhì)數(shù)形結(jié)合可以解決。當然，平面解析幾何的重要內(nèi)容，是讓學生從中感受運用代數(shù)方法處理幾何問題的思想”，此類問題中，函數(shù)和基本不等式也發(fā)揮著重要的作用?！　　娟P(guān)鍵詞】直線與圓；動點；最值；幾何問題；代數(shù)方法　　一、條條道路通羅馬，數(shù)形結(jié)合首當家　　引例：已知直線l：y=x-1，Q是圓C：（x+3）2+y2=1上任意點，求點Q到直線l的距離的最小值和最大值?！　。▓D1）（圖2）　　【分析】這是求解

2、“圓上一動點到直線距離”的常見考題，可以得“圓心到直線的距離減半徑”即為最短距離，這一結(jié)論在解題時可直接應用。　　解：如圖1，圓心C到直線y=x-1的距離d=2，半徑r=1，故Q到直線的距離的最值為：dmax=2+1，dmin=2-1?！　∽兪?：由直線y=x-1上一點向圓C：（x+3）2+y2=1引切線，則切線長的最小值為______?！　　痉治觥壳笄芯€長的值____，應連接圓心和切點，構(gòu)造直角三角形。如圖2因為PA2=PC2-r2，PA的大小取決于PC的大小，問題轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，歸納至引例。5　　變式2

3、：已知P為直線y=x-1上一動點，過P作圓C：（x+3）2+y2=1的切線PA，PB，A、B為切點，則當PC=_____時，∠APB最大?！　。▓D3）　　【分析】∠APB=2∠APC，即求∠APC的最大，在RT△PAC中利用其正弦值可轉(zhuǎn)化為求PC的最小值，歸納至引例。　　變式3：已知P為直線y=x-1上一動點，過P作圓C：（x+3）2+y2=1的切線PA，PB，A、B為切點，則四邊形PACB面積的最小值為____?！　　痉治觥坷肧四邊形PACB=2S△PAC將求面積的最小值轉(zhuǎn)化為PA的最小值，即求切線段的最小值

4、問題。歸納至引例?！　〔煌O問方式，考查內(nèi)容都是有關(guān)圓上一動點到直線的距離的最值問題，將其轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題即可迎刃而解，數(shù)形結(jié)合，動點變定點的轉(zhuǎn)化思想得到充分展現(xiàn)。　　二、幾何代數(shù)來爭艷，路死誰手真難辨　　數(shù)學的美妙在于思維的延展和方法的多樣，同一個問題不同解決方法，既可以從“數(shù)”的角度思考又可以從“形”的方面探討，下面，筆者通過一個例子的三種不同解決方法揭示幾何與代數(shù)的密不可分的關(guān)系?！　±?：已知實數(shù)x，y滿足（x+3）2+y2=1，試求：（1）x2+y2的取值范圍；（2）的取值范圍；（3）x+2y

5、的取值范圍?！　》椒ǎㄒ唬豪盟笫阶拥膸缀我饬x5　　【分析】學生易想到所求三個式子的幾何意義，題（1）為圓上動點（x，y）與原點（0，0）的距離的平方，將動點問題轉(zhuǎn)化為定點問題，即圓心到原點的距離的平方即可。亦可看成兩個圓的關(guān)系問題，當兩圓相切時有最值。題（2）轉(zhuǎn)化為圓上一動點與點（-3，2）的連線斜率的取值范圍。題（3）令x+2y=Z，則y=-x+z，問題轉(zhuǎn)化為求直線的縱截距的取值范圍。　　方法（二）：利用函參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)　　【分析】本例也可以利用圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解。　　

6、解：題（1）　　令x=cosθ-3y=sinθ，則x2+y2=（cosθ-3）2+sinθ2=10-6cosθ　　∵-1≤cosθ≤1∴4≤x2+y2≤16；　　題（2）令=k，則=k，即sinθ-kcosθ=2。sin（θ-φ）=2∴

7、sin（θ-φ）

8、=

9、

10、≤1，k≤-或k≥；　　題（3）x+2y=cosθ-3+2sinθ=cos（θ+φ），-1≤cos（θ+φ）≤1，∴x+2y∈[3-，3+]?！　》椒ǎㄈ豪枚魏瘮?shù)與二次方程　　【分析】題（1）利用圓的方程把y用x表示，將所求式子表示成關(guān)于x的二次函

11、數(shù)求值域；題（2）（3）均可設所求式子為t，用含x，t的式子表示y，并代入圓的方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，△≥0即可?！　〗猓侯}（1）∵（x+3）2+y2=1∴y2=1-（x+3）2，　　∴x2+y2=x2+1-（x+3）2=-6x-8∵-4≤x≤-24≤x2+y2≤16　　題（2）令=t，則y=xt+3t+2代入圓的方程得　?。▁+3）2+（xt+3t+2）2=15　　即（1+t2）x2+（6t2+4t+6）x+2lt2+12=0方程有解，∴△≥0，解得t≤-或t≥；題（3）同理。　　本例的解決，

12、正應了一句老話“條條大路通羅馬”，幾何性質(zhì)，三角函數(shù)，二次函數(shù)二次方程多種解題方法的靈活應用，為學生提供了更多的選擇，究竟哪種方法使解題過程變得“快，狠，準”，選擇權(quán)在學習者手中，事實上，無論是哪種方法都在向我們解釋幾何和代數(shù)你中有我，我中有你的密不可分的關(guān)系?！　∪缀螁栴}代數(shù)化，函數(shù)不等試一下　　平面解析幾何的重要內(nèi)容，是讓學生感受運用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。有