淺談微積分對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的影響

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1、淺談微積分對(duì)現(xiàn)代科學(xué)的影響　　摘要：從微積分的發(fā)展歷史及各發(fā)展階段數(shù)學(xué)家對(duì)微積分所引起的不同爭(zhēng)論，來(lái)闡述微積分的發(fā)展對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展所起的影響。　　關(guān)鍵詞：微積分牛頓萊布尼茲極限　　1.數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)的影響　　數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，自然科學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)的發(fā)展。尤其是數(shù)學(xué)中的微積分理論，對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用，為自然科學(xué)中一些現(xiàn)象的解釋提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，使有限和無(wú)限、連續(xù)和離散、代數(shù)和幾何形成了有機(jī)的結(jié)合與統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)的眾多學(xué)科分支中，就嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用性和簡(jiǎn)潔性而言，微積分應(yīng)是最具代表性的學(xué)科之一。微積分以簡(jiǎn)潔、

2、優(yōu)美的形式把運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題、磁場(chǎng)問(wèn)題、幾何中曲線的切線問(wèn)題、函數(shù)中最值問(wèn)題、曲線長(zhǎng)度及曲面面積和立體體積問(wèn)題總結(jié)于一個(gè)高度統(tǒng)一的理論體系之中。因而，這一理論的產(chǎn)生被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上乃至人類(lèi)文明史上的偉大創(chuàng)造，受到歷代數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家的盛贊。如果我們對(duì)其歷史和現(xiàn)狀作一番認(rèn)真的考究，追溯這一理論產(chǎn)生的歷史，將會(huì)使我們更深刻的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)發(fā)展所起的深刻影響。于此，微積分提出之后，遭到了許多人的猛烈抨擊，其中也包括一些著名的數(shù)學(xué)家。牛頓繼承和總結(jié)了先輩們的思想，作出了自己獨(dú)到的建樹(shù)。他把自己的發(fā)現(xiàn)稱(chēng)為“流數(shù)術(shù)”，稱(chēng)連續(xù)變化的量為流動(dòng)量，無(wú)限

3、小的時(shí)間間隔為瞬，而流量的速度稱(chēng)為流動(dòng)率或流數(shù)。牛頓的“流數(shù)術(shù)”9就是以流量、流數(shù)和瞬為基本概念的微分學(xué)，主觀唯心論哲學(xué)家貝克萊是抨擊微積分理論最強(qiáng)有力的人物。他憤恨牛頓的微積分理論給唯物論以支持，于是向流數(shù)術(shù)展開(kāi)了猛烈的攻擊。1734年，貝克萊出版了一本書(shū):《分析學(xué)家:或一答致不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘，教義的主旨有更清晰的陳述，或更明確的推理?！　?.關(guān)于微積分的本原問(wèn)題　　2．1微積分使極限理論更加成熟　　我們知道微積分的基礎(chǔ)是極限論，而牛頓、萊布尼茲的極限觀念是十分模糊的，牛頓的瞬

4、和流數(shù)，萊布尼茲的dx和dy究竟是什么含義?在他們各自的著述中沒(méi)有給出明確和一貫的定義，在運(yùn)用時(shí)也顯得前后不一。牛頓和萊布尼茲在使用無(wú)限小量時(shí)，有時(shí)視瞬或dx為無(wú)限小增量，而有時(shí)視之為一個(gè)有限量加以運(yùn)算，甚至把它作為零而忽略不計(jì)，這就在邏輯上造成明顯的矛盾。牛頓曾用有限差值的最初比和最終比――一種萌芽狀態(tài)的極限概念來(lái)說(shuō)明流數(shù)的意義。但是當(dāng)差值還未達(dá)到零時(shí)，其比值不是最終的，而當(dāng)差值達(dá)到零時(shí)，它們比是0。怎樣理解這樣的最終比，牛頓也承認(rèn)自己的方法只作出“簡(jiǎn)略的說(shuō)明，而不是正確的論證?！倍R布尼茲的微積分論文發(fā)表以后，連當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)上頗有造詣的數(shù)

5、學(xué)家象Bernoulli兄弟也頗感費(fèi)解:“與其說(shuō)有一種說(shuō)明，還不如說(shuō)是一個(gè)謎?！本烤箻O限是什么?無(wú)窮小是什么?在今天很容易理解。但在十九世紀(jì)以前還是一個(gè)數(shù)學(xué)上本質(zhì)性的難題?；鶚O限思想在當(dāng)時(shí)也散見(jiàn)于各個(gè)時(shí)代著作中，如中國(guó)《莊子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖論、Endoxus的“窮竭法”、劉微的“割圓術(shù)”9等和極限思想有直接關(guān)系，但這些都只能說(shuō)是對(duì)極限有些模糊認(rèn)識(shí)而已。十八世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家為維護(hù)微積分的應(yīng)用價(jià)值和美學(xué)價(jià)值，在回?fù)魜?lái)自數(shù)學(xué)界內(nèi)外的攻擊同時(shí)，竭盡所能使微積分在理論上嚴(yán)密化、邏輯化，在形式更趨完美。在十八世紀(jì)前期，許多數(shù)學(xué)家，尤

6、其是英國(guó)數(shù)學(xué)家總是企圖使微積分與歐幾里得幾何結(jié)合起來(lái)，他們?cè)噲D借助于幾何學(xué)中論證之嚴(yán)謹(jǐn)體系去完善微積分。但這一努力是失敗的，打破這一僵局的大數(shù)學(xué)家歐拉，他以代數(shù)方式研究微積分，力圖用形式演算方式代替累贅的幾何語(yǔ)言，使微積分建立在算術(shù)和代數(shù)基礎(chǔ)上。達(dá)朗貝爾把牛頓的“最終比”發(fā)展為一種極限概念，并試圖用極限加以定義和說(shuō)明。他認(rèn)為應(yīng)以極限理論作為微積分的理論基礎(chǔ)，這一思想在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算講義》、《無(wú)窮小計(jì)算在幾何中應(yīng)用》這幾部具劃時(shí)代意義的名著之后，微積分一系列基礎(chǔ)概念及理正

7、式明確地確定下來(lái)。自此以后，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和概念也建立較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)之上―極限理論。我們現(xiàn)在所謂的極限的柯西定義或年之后半個(gè)世紀(jì)經(jīng)過(guò)維爾斯特拉斯的加工才完成的?？挛靼颜麄€(gè)極限過(guò)程用不等式來(lái)刻畫(huà)，使無(wú)窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo)。維爾斯特拉斯將柯西的完成了現(xiàn)今的-方法，形成了微積分的嚴(yán)謹(jǐn)之美。　　2．2微積分―――狀態(tài)與過(guò)程的統(tǒng)一　　微積分是十七世紀(jì)數(shù)學(xué)所達(dá)到的最高成就。微積分出現(xiàn)以后，逐漸顯示出它非凡的威力，過(guò)去許多數(shù)學(xué)家束手無(wú)策的問(wèn)題，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來(lái)不僅表明狀態(tài)，

8、并且也表明過(guò)程:運(yùn)動(dòng)。”9然而，在十九世紀(jì)以前，微積分理論歷史發(fā)展始終包含著矛盾:一方面純粹分析及其應(yīng)用領(lǐng)域中呈現(xiàn)出一個(gè)接一個(gè)的偉大發(fā)現(xiàn)與成就；另一方面則是基礎(chǔ)理論的含糊性。事實(shí)