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《愛森斯坦判別法在判斷根時的條件愛森斯坦判別法在判斷根時的條件愛森斯坦判別法在判斷根時的條件愛森斯坦判》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、愛森斯坦判別法是目前為止用來判斷內(nèi)一個多項式可約與否的最好結(jié)果。愛森斯坦判別法設(shè)給定次本原多項式如果存在一個素數(shù)，使，但，則在內(nèi)不可約。證明：用反證法。設(shè)在內(nèi)可約，即，其中這里。為方便計，下面式子中多項式的系數(shù)的下標(biāo)大于其對應(yīng)多項式的次數(shù)時，均認(rèn)為等于零。因為，而，故。另一方面，，而，故或；不妨設(shè)，此時因，故。設(shè)，但。此時，而括號中各項均含有因子，故。但，為素數(shù)，矛盾。由此，在內(nèi)不可約。愛森斯坦判別法是目前為止用來判斷Z[x]內(nèi)一個多項式可約與否的最好結(jié)果?！“固古袆e法是代數(shù)的定理，給出了判定整系數(shù)多項式不能分解為整系數(shù)多項
2、式乘積的充分條件。由高斯定理，這判別法也是多項式在有理數(shù)域不可約的充分條件?！ “固古袆e法是說：給出下面的整系數(shù)多項式 如果存在素數(shù)p，使得p不整除an，但整除其他ai；p^2不整除a0，那么f(x)是不可約的。編輯本段[編輯]例子 給了多項式g(x)=3x4+15x2+10，試確定它能否分解為有理系數(shù)多項式之積?！ ≡囉冒固古袆e法。素數(shù)2和3都不適合，考慮素數(shù)p=5。5整除x的系數(shù)15和常數(shù)項10，但不整除首項3。而且52=25不整除10。所以g(x)在有理數(shù)域不可約?！ ∮袝r候不能直接用判別法，或者可以代入y=x
3、+a后再使用?！ ±缈紤]h(x)=x2+x+2。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數(shù)整除x的系數(shù)1。但把h(x)代入為h(x+3)=x2+7x+14，可立刻看出素數(shù)7整除x的系數(shù)和常數(shù)項，但72=49不整除常數(shù)項。所以有時通過代入便可以用到判別法。 艾森斯坦判別法得出的一個著名結(jié)果如下： 對素數(shù)p，以下多項式在有理數(shù)域不可約。 。要使用艾森斯坦判別法，先作代換x=y+1。新的常數(shù)項是p，除首項是1外，其他項的系數(shù)是二項式系數(shù)，k大于0，所以可以被p除盡。編輯本段[編輯]初等證明 對多項式f(x)取模p，也就是把它的系
4、數(shù)映射到域上。這樣它便化為，其中c為非零常數(shù)。因為在域上的多項式有唯一分解，f在模p上會分解為單項式。如果f是在有理數(shù)上可約的，那么會有多項式g,h使得f=gh。從上可知g和h取模p分別為和，滿足c=de。因為g和h模p的常數(shù)項為零，這表示g和h的常數(shù)項均可被p整除，所以f的常數(shù)項a0可以被p2整除，與f系數(shù)的假設(shè)矛盾。因此得證試以Q、R、C為系數(shù)域，論述多項式的因式分解和多項式的根的關(guān)系。首先，多項式因式分解是由其根決定的。Q為有理數(shù)域，有理系數(shù)多項式均等價于一整系數(shù)多項式；R為實數(shù)域，實系數(shù)多項式一般不等價于整系數(shù)多項式，因
5、為系數(shù)一般含無理數(shù)；C為復(fù)數(shù)域，復(fù)系數(shù)多項式系數(shù)一般含虛數(shù)，因此解一般為虛數(shù)。根據(jù)根的數(shù)域：同一多項式進(jìn)行因式分解或求根，解的個數(shù)C>R>Q，因為：n次多項式復(fù)數(shù)域上求解必有n個復(fù)根（無重根）；實數(shù)域上求解一般小于n，且可能存在重根，解的取值范圍為有理數(shù)或無理數(shù)；有理數(shù)域上求解一般也小于n，且也可能存在重根，解的取值范圍是有理數(shù)。若一個多項式y(tǒng)=a0+a1x+a2x^2+……anx^n,它的C上復(fù)根為x1,x2,……xn,則y=an(x-x1)(x-x2)……(x-xn),若是Q或R上，則將x1,x2,……xn中不屬于該數(shù)域的項
6、乘起來。例如，y=x^2-1，Q或R或C上因式分解為(x+1)(x-1);y=x^2-2,Q上因式分解為原式，R或C上因式分解為(x-√2)(x+√2)；y=x^2+2,Q或R上因式分解為原式，C上因式分解為(x-√2i)(x+√2i)。求證：3次和3次以上的實系數(shù)多項式都可以進(jìn)行因式分解.任何n次多項式都有n個復(fù)根(可以重復(fù))2.實系數(shù)多項式虛根成對(互為共軛)于是，對于高于三次的實系數(shù)多項式P，至少存在a+bi和a-bi兩個復(fù)根，于是P同時被x-a+bi和x-a-bi整除，也就是被(x-a)^2+b^2整除。請問怎樣可以根據(jù)
7、一個多項式的系數(shù)來確定其是否能被因式分解作為代數(shù)基本定理（可到百科查一下）的簡單推論，一個數(shù)域上的多項式總可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積。例如：x^2+px+q=(x-r1)(x-r2)其中r1，r2是方程x^2+px+q=0的兩根，r1=(-p+√(p^2-4q))/2，r2=(-p-√(p^2-4q))/2。不過因為對于4次以上的代數(shù)方程沒有一般的根式求根公式（有根，但不會算），所以這個方法的實際用處也比較有限。作為上面結(jié)論的一個特殊情況，我們可以證明一個實數(shù)為系數(shù)的多項式總可以分解為以實數(shù)為系數(shù)的若干一次因式和二次因
8、式的乘積。（把共軛的復(fù)根產(chǎn)生的一次因式相乘）如果求的是整數(shù)系數(shù)多項式分解為整數(shù)系數(shù)多項式（或改為有理數(shù)系數(shù)），這個問題就成為數(shù)學(xué)上相當(dāng)復(fù)雜的問題了。事實上，對這個問題并沒有一般的方法，只是對一些特殊的情況有一些技巧或判定定理。對簡單的計算而言，常用的技巧是猜根法
