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《愛森斯坦判別法在判斷根時(shí)的條件愛森斯坦判別法在判斷根時(shí)的條件愛森斯坦判別法在判斷根時(shí)的條件愛森斯坦判》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、愛森斯坦判別法是目前為止用來判斷內(nèi)一個(gè)多項(xiàng)式可約與否的最好結(jié)果。愛森斯坦判別法設(shè)給定次本原多項(xiàng)式如果存在一個(gè)素?cái)?shù)，使，但，則在內(nèi)不可約。證明：用反證法。設(shè)在內(nèi)可約，即，其中這里。為方便計(jì)，下面式子中多項(xiàng)式的系數(shù)的下標(biāo)大于其對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，均認(rèn)為等于零。因?yàn)?，而，故。另一方面，，而，故或；不妨設(shè)，此時(shí)因，故。設(shè)，但。此時(shí)，而括號(hào)中各項(xiàng)均含有因子，故。但，為素?cái)?shù)，矛盾。由此，在內(nèi)不可約。愛森斯坦判別法是目前為止用來判斷Z[x]內(nèi)一個(gè)多項(xiàng)式可約與否的最好結(jié)果。 艾森斯坦判別法是代數(shù)的定理，給出了判定整系數(shù)多項(xiàng)式不能分解為整系數(shù)多項(xiàng)
2、式乘積的充分條件。由高斯定理，這判別法也是多項(xiàng)式在有理數(shù)域不可約的充分條件。 艾森斯坦判別法是說：給出下面的整系數(shù)多項(xiàng)式 如果存在素?cái)?shù)p，使得p不整除an，但整除其他ai；p^2不整除a0，那么f(x)是不可約的。編輯本段[編輯]例子 給了多項(xiàng)式g(x)=3x4+15x2+10，試確定它能否分解為有理系數(shù)多項(xiàng)式之積?！ ≡囉冒固古袆e法。素?cái)?shù)2和3都不適合，考慮素?cái)?shù)p=5。5整除x的系數(shù)15和常數(shù)項(xiàng)10，但不整除首項(xiàng)3。而且52=25不整除10。所以g(x)在有理數(shù)域不可約?！ ∮袝r(shí)候不能直接用判別法，或者可以代入y=x
3、+a后再使用。 例如考慮h(x)=x2+x+2。這多項(xiàng)式不能直接用判別法，因?yàn)闆]有素?cái)?shù)整除x的系數(shù)1。但把h(x)代入為h(x+3)=x2+7x+14，可立刻看出素?cái)?shù)7整除x的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，但72=49不整除常數(shù)項(xiàng)。所以有時(shí)通過代入便可以用到判別法。 艾森斯坦判別法得出的一個(gè)著名結(jié)果如下： 對(duì)素?cái)?shù)p，以下多項(xiàng)式在有理數(shù)域不可約?！ ?。要使用艾森斯坦判別法，先作代換x=y+1。新的常數(shù)項(xiàng)是p，除首項(xiàng)是1外，其他項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式系數(shù)，k大于0，所以可以被p除盡。編輯本段[編輯]初等證明 對(duì)多項(xiàng)式f(x)取模p，也就是把它的系
4、數(shù)映射到域上。這樣它便化為，其中c為非零常數(shù)。因?yàn)樵谟蛏系亩囗?xiàng)式有唯一分解，f在模p上會(huì)分解為單項(xiàng)式。如果f是在有理數(shù)上可約的，那么會(huì)有多項(xiàng)式g,h使得f=gh。從上可知g和h取模p分別為和，滿足c=de。因?yàn)間和h模p的常數(shù)項(xiàng)為零，這表示g和h的常數(shù)項(xiàng)均可被p整除，所以f的常數(shù)項(xiàng)a0可以被p2整除，與f系數(shù)的假設(shè)矛盾。因此得證試以Q、R、C為系數(shù)域，論述多項(xiàng)式的因式分解和多項(xiàng)式的根的關(guān)系。首先，多項(xiàng)式因式分解是由其根決定的。Q為有理數(shù)域，有理系數(shù)多項(xiàng)式均等價(jià)于一整系數(shù)多項(xiàng)式；R為實(shí)數(shù)域，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式一般不等價(jià)于整系數(shù)多項(xiàng)式，因
5、為系數(shù)一般含無理數(shù)；C為復(fù)數(shù)域，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式系數(shù)一般含虛數(shù)，因此解一般為虛數(shù)。根據(jù)根的數(shù)域：同一多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解或求根，解的個(gè)數(shù)C>R>Q，因?yàn)椋簄次多項(xiàng)式復(fù)數(shù)域上求解必有n個(gè)復(fù)根（無重根）；實(shí)數(shù)域上求解一般小于n，且可能存在重根，解的取值范圍為有理數(shù)或無理數(shù)；有理數(shù)域上求解一般也小于n，且也可能存在重根，解的取值范圍是有理數(shù)。若一個(gè)多項(xiàng)式y(tǒng)=a0+a1x+a2x^2+……anx^n,它的C上復(fù)根為x1,x2,……xn,則y=an(x-x1)(x-x2)……(x-xn),若是Q或R上，則將x1,x2,……xn中不屬于該數(shù)域的項(xiàng)
6、乘起來。例如，y=x^2-1，Q或R或C上因式分解為(x+1)(x-1);y=x^2-2,Q上因式分解為原式，R或C上因式分解為(x-√2)(x+√2)；y=x^2+2,Q或R上因式分解為原式，C上因式分解為(x-√2i)(x+√2i)。求證：3次和3次以上的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以進(jìn)行因式分解.任何n次多項(xiàng)式都有n個(gè)復(fù)根(可以重復(fù))2.實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)(互為共軛)于是，對(duì)于高于三次的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式P，至少存在a+bi和a-bi兩個(gè)復(fù)根，于是P同時(shí)被x-a+bi和x-a-bi整除，也就是被(x-a)^2+b^2整除。請(qǐng)問怎樣可以根據(jù)
7、一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)來確定其是否能被因式分解作為代數(shù)基本定理（可到百科查一下）的簡(jiǎn)單推論，一個(gè)數(shù)域上的多項(xiàng)式總可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積。例如：x^2+px+q=(x-r1)(x-r2)其中r1，r2是方程x^2+px+q=0的兩根，r1=(-p+√(p^2-4q))/2，r2=(-p-√(p^2-4q))/2。不過因?yàn)閷?duì)于4次以上的代數(shù)方程沒有一般的根式求根公式（有根，但不會(huì)算），所以這個(gè)方法的實(shí)際用處也比較有限。作為上面結(jié)論的一個(gè)特殊情況，我們可以證明一個(gè)實(shí)數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式總可以分解為以實(shí)數(shù)為系數(shù)的若干一次因式和二次因
8、式的乘積。（把共軛的復(fù)根產(chǎn)生的一次因式相乘）如果求的是整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式分解為整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式（或改為有理數(shù)系數(shù)），這個(gè)問題就成為數(shù)學(xué)上相當(dāng)復(fù)雜的問題了。事實(shí)上，對(duì)這個(gè)問題并沒有一般的方法，只是對(duì)一些特殊的情況有一些技巧或判定定理。對(duì)簡(jiǎn)單的計(jì)算而言，常用的技巧是猜根法
