相對同調(diào)維數(shù)及其應(yīng)用

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1、DissertationfortheDoctoralDegreeofScienceRelativehomologicaldimensionsandtheirapplicationsTangXiSupervisedbyProfessorDingNanqingFundamentalMathematicsDepartmentofMathematics，NanjingUniversityJanuary．2011Tomyparentsandgrandparents南京大學(xué)研究生畢業(yè)論文中文摘要首頁用紙畢業(yè)論文題目：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)相對同調(diào)維數(shù)及其應(yīng)用專業(yè)2四工——

2、級博士生姓名：唐曦指導(dǎo)教師(姓名、職稱)丁南慶教授摘要二十世紀(jì)五十年代中期，Serre，Auslander和Buchsbaum證明了一個交換Noether局部環(huán)是正則的當(dāng)且僅當(dāng)每個有限生成模的投射維數(shù)都是有限的。這一結(jié)果的出現(xiàn)開啟了利用同調(diào)不變量來研究交換代數(shù)的新篇章。到了上二十世紀(jì)六十年代后期，Auslander又找到了一種新的同調(diào)維數(shù)一Gorenstein維數(shù)來研究交換代數(shù)和代數(shù)幾何中另一類重要的環(huán)一Gorenstein環(huán)以及該類環(huán)上模范疇的同調(diào)性質(zhì)。這種同調(diào)維數(shù)的引進事實上就是Gorenstein同調(diào)代數(shù)的起源。從此以后，通過各種不同的同調(diào)

3、維數(shù)來研究相應(yīng)模范疇的同調(diào)性質(zhì)就成為了交換代數(shù)和同調(diào)代數(shù)的一個很有意義的課題。受此思想的影響，本文在前人工作的基礎(chǔ)上研究了一些新的同調(diào)維數(shù)。全文共分四章，具體內(nèi)容如下：第一章是引言，簡單地介紹了本文的基本結(jié)果和預(yù)備知識。第二章給出了一個半對偶化模成為對偶化模的五種新的等價條件，其中前兩個結(jié)論分別改進了Takahashi等人和Christensen的結(jié)論，而緊接著的兩個結(jié)論可分別看作是Jenda和Xu的定理的推廣，最后一個定理則提供了locallyGorenstein環(huán)的一個新刻畫。第三章主要是研究Cohen—Macaulay內(nèi)射維數(shù)與廣義局部上同

4、調(diào)。我們證明了一個關(guān)于廣義局部上同調(diào)的新的消去定理。該定理不僅可以用來刻畫正則環(huán)和Gorenstein環(huán)，而且可以給出一個環(huán)成為Cohen—Macaulay環(huán)的充分條件。這個條件部分回答了Takahashi57l的公開問題：如果R是一個交換Noether局部環(huán)并且存在一個具有有限Gorenstein內(nèi)射維數(shù)的非零模，那么R是否一定是Cohen—Macaulay環(huán)?第四章則把重心轉(zhuǎn)移到非交換環(huán)上，通過引入一類新的模一強極大平坦模及其相應(yīng)的同調(diào)維數(shù)，我們證明了這類模和其右EXt正交類形成一個完全和遺傳的余撓對。該結(jié)果有助于我們找到對于右SF、半單、左

5、完全、VOnNeumann正則和quasi—Frobenius環(huán)的新刻畫。關(guān)鍵詞：Auslander類；Bass類；半對偶化模；C一平坦模；C一內(nèi)射模：Cohen—Macaulay內(nèi)射維數(shù)；對偶化模；Gorenstein同調(diào)維數(shù)；廣義局部上同調(diào)；廣義Noether環(huán)；強極大平坦模：強極大余撓模。南京大學(xué)研究生畢業(yè)論文英文摘要首頁用紙THESIS：RELATIVEHOMOLOGICALDIMENSl0NSANDTHEIRAPPLICATIONSSPECIALIZATION：FundamentalMathematicsPOSTGRADUATE：Tan

6、gXiMENToR：ProfessorDingNanqingAbstractInthemiddleOf1950s，Serre，AuslanderandBuchsbaumprovedthatacommuta-tiveNoetherianlocalringisregularifandonlyifeveryfinitelygeneratedR—modulehasfiniteprojectivedimension．TheRegularityTheoremopensanewchapterofinvestigat—ingconmmtativealgebrav

7、iahomologicalinvariants．Attheendof1960s，Auslanderfoundanewhomologicaldimension—GorensteindimensionavailabletothestudyofGorensteinrings，whichareveryimportantincomnmtativeMgebraandalgebraicge—ometry，audrelatedhomologicalpropertiesofmodulecategories．ActuallyGorensteinhomological

8、algebrahasitsrootinthisnewdimension．Consequently,investigatingthehom