相似矩陣與矩陣的對角化

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1、§5.3相似矩陣與矩陣的對角化定理5由于對角句陣的特征值為對角線上的元素,所以由定理5得推論若n階矩陣A與對角陣定理6推論1如果矩陣A的特征值都是單特征根，則A與對角矩陣相似.推論1推論2例3設(shè)矩陣解例4設(shè)A是3階矩陣且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.證明：證由前面的例題可知,并不是任何一個(gè)方陣都可對角化的,但是當(dāng)方陣A為實(shí)對稱矩陣時(shí),A必可對角化,且實(shí)對稱矩陣對于我們討論下面的二次型非常重要.定理7實(shí)對稱矩陣的特征值全為實(shí)數(shù).定理8定理9由于相互正交的向量必線性無關(guān)，所以我們得到。推論對應(yīng)實(shí)對稱矩陣不同特征值的特征向量必定線性無關(guān)若λ是實(shí)對稱矩

2、陣A的r重特征根，則對應(yīng)特征值λ恰有r個(gè)線性無關(guān)的特征向量。證明（略）由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到定理10實(shí)對稱矩陣A一定可以對角化。即存在正交矩陣P,使P-1AP=Λ，其中Λ是以A的n個(gè)特征值為對角元素的對角矩陣?；疽?1)理解特征值與特征向量的定義,了解其性質(zhì),會(huì)計(jì)算特征值與特征向量.(2)了解相似矩陣的概念及性質(zhì).(3)理解方陣可對角化的條件,掌握用相似變換化方陣為對角矩陣的方法.(4)了解實(shí)對稱矩陣的性質(zhì),掌握實(shí)對稱矩陣正交相似對角化的方法.