5.2 平行線及其判定

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1、平行線的判定教學(xué)設(shè)計(jì)［教學(xué)目標(biāo)］1．能說(shuō)出平行線的判定公理，即“同位角相等，兩直線平行”；能說(shuō)出判定公理的第一個(gè)推論，即“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”。2．會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示平行線判定公理及其推論，并能根據(jù)它們做簡(jiǎn)單的推理證明。此外，本節(jié)課的教學(xué)中還介紹了兩種重要的數(shù)學(xué)思想方法，即化歸和分類的思想方法。［引導(dǎo)性材料］通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)平行線的意義已有了較深的認(rèn)識(shí)，但這種認(rèn)識(shí)僅是直觀的、感性的認(rèn)識(shí)，而要來(lái)說(shuō)明兩直線平行，還只有兩個(gè)途徑：平行線的定義及平行公理的推論，其中平行公理的推論對(duì)條件要求較強(qiáng)，要有三條平行線，且其中的兩條分別與第三條平行。

2、如果用平行線定義更難以說(shuō)明兩條直線沒有交點(diǎn)，因而，需要通過(guò)其他途徑尋找判定兩條直線平行的更普遍的方法。參照教科書第79頁(yè)圖，制作三根木條組成的教具模型，或讓學(xué)生用紙條制作類似的教具。展示時(shí)，可先擺成一般情況的三條直線相交，讓學(xué)生指出“三線八角”中各對(duì)角的關(guān)系名稱，既復(fù)習(xí)舊知，又為后面新課學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備。隨后按照教科書第79頁(yè)所述對(duì)其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化，并提問(wèn)：兩個(gè)同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）的大小有什么關(guān)系時(shí)，這兩根木條互相平行？（讓學(xué)生大膽猜想。）[知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程的教學(xué)設(shè)計(jì)]問(wèn)題1—1：如圖2．5—1(即教科書第79頁(yè)圖2－23)，我們已經(jīng)會(huì)用三角板和直尺

3、過(guò)點(diǎn)p畫直線ab的平行線cd，你能發(fā)現(xiàn)這種畫法實(shí)際上是畫哪兩個(gè)角相等？（由學(xué)生觀察并說(shuō)出∠dhg=∠bgf，然后指出這兩個(gè)角是直線ab、cd被ef截得的同位角，這又一次說(shuō)明了一個(gè)大家公認(rèn)的事實(shí)。)圖2．5－1問(wèn)題1－2：怎樣正確地?cái)⑹錾厦孢@個(gè)公認(rèn)的事實(shí)？(引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確表述平行線判定公理，簡(jiǎn)單記為“同位角相等，兩直線平行”。)問(wèn)題1—3：結(jié)合圖2．5—1，使用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述平行線的判定公理：∵∠dhg=∠bgf∴ab∥cd（進(jìn)行文字語(yǔ)言翻譯為符號(hào)語(yǔ)言的訓(xùn)練，教師給出板書，同時(shí)為公理的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。）問(wèn)題1－4：根據(jù)圖2．5—2，完成下面的推理過(guò)程

4、?！摺蟔___=∠____∴a∥b(本題有四種答案，設(shè)計(jì)此問(wèn)既幫助學(xué)生熟悉判定公理，又使學(xué)生知道，只要有一對(duì)同位角相等，就可以判定兩直線平行。)圖2．5—2問(wèn)題1—5：用平行線判定公理判定某個(gè)圖形中的兩條直線平行，需要什么條件？首先要在這個(gè)圖形（可能是復(fù)雜圖形或變式圖形）中找出同位角，其次這兩個(gè)角大小要相等。如圖2．5—3中，由∠1=∠2，可判定pm∥qn。學(xué)生容易誤認(rèn)為由∠3=∠4，也可判定pm∥qn。而事實(shí)上，∠3與∠4不是同位角。圖2．5—3問(wèn)題2—1：根據(jù)課堂教學(xué)的實(shí)際情況，選擇以下兩種方案中的一種提出問(wèn)題：方案一：如果學(xué)生在前面教具演

5、示中提出過(guò)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的猜想，則教師可因勢(shì)利導(dǎo)，提出問(wèn)題：你會(huì)應(yīng)用剛剛學(xué)習(xí)的判定公理說(shuō)明剛才的猜想是正確的嗎？方案二：教師直接提出問(wèn)題，如圖2．5—4。根據(jù)平行線判定公理，由∠1=∠2可判定a∥b，那還有別的方法可以判定a∥b？也就是說(shuō)只要具備什么條件，就可以斷定∠l=∠2，從而判定a∥b呢？（讓學(xué)生觀察、思考，若學(xué)生有困難，可提示學(xué)生同位角、內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角之間有著很緊密的聯(lián)系，從而找出“條件”∠2＝∠3或∠2+∠4=180°”。如果學(xué)生說(shuō)出“∠2＋∠4＝180°”的條件，可把它作為下節(jié)課的引導(dǎo)性材料。）圖2．5—4問(wèn)題2—2：

6、如圖2．5—4，如果有∠2=∠3，怎樣判定a∥b？（讓學(xué)生試述推理過(guò)程，教師板書如下：∵∠3＝∠2（已知），∠1=∠3（對(duì)頂角相等），∴∠1=∠2。{∵∠1=∠2（已證）}∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）。圖2．5－4對(duì)于上面推理過(guò)程作以下說(shuō)明：1．［〕內(nèi)的“∵∠1=∠2”，是上一步推理得到的結(jié)論，通?？墒÷裕@里寫出來(lái)是讓學(xué)生養(yǎng)成有根有據(jù)地推理，條理清晰；2．第三步∠1=∠2的推出理由是“等量代換”，而不應(yīng)視作沒有理由；3．上述過(guò)程把“內(nèi)錯(cuò)角相等”轉(zhuǎn)化為“同位角相等”，從而得到判定兩直線平行的新方法，這種“轉(zhuǎn)化”的思想十分重要，要讓學(xué)生細(xì)致

7、體會(huì)。）問(wèn)題2－3：你能用語(yǔ)言敘述這個(gè)判定方法嗎？（由學(xué)生口述，教師糾正，從而得出平行線判定公理的推論1“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”。）問(wèn)題2－4：結(jié)合圖2．5－2，根據(jù)這個(gè)推論，填寫下列空格：∵∠____=∠____∴a∥b（要求學(xué)生寫出∠2＝∠7，∠4＝∠5兩種。）[例題解析]例如圖2．5－5，be是ab的延長(zhǎng)線，df是ad的延長(zhǎng)線，∠cbf=∠a=∠c。1．由∠cbf=∠a，可以判定哪兩條直線平行？依據(jù)是什么？2．由∠cbe=∠c，可以判定哪兩條直線平行？依據(jù)是什么？3．要證明af∥bc需要哪些角相等？4．要證明ae∥dc需要哪些角相等？(

8、本例題是對(duì)教科書第80頁(yè)練習(xí)第3題的擴(kuò)展。其中前兩間是公理及推論的直接應(yīng)用，而后兩問(wèn)的答案不唯一，要訓(xùn)練學(xué)生從不同的角度尋找答案，以拓寬學(xué)生的解題思路