正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的教學(xué)困惑與解決策略

《正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的教學(xué)困惑與解決策略》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”的教學(xué)困惑與解決策略董海濤安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué)（236006）安徽省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽終于落下帷幕，參賽選手向觀摩教師奉獻(xiàn)了一節(jié)節(jié)異彩紛呈的課堂實(shí)操，其中的一節(jié)課“1.4.3正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”（人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)必修4（A版）（以下簡(jiǎn)稱教材）），深受評(píng)委和觀摩教師的好評(píng)，筆者全程參與了該選手的備課環(huán)節(jié)，現(xiàn)將備課過(guò)程中的困惑與以及解決策略整理如下，與同行交流。一.對(duì)本節(jié)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)本節(jié)課是在研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后，研究的另一類三角函數(shù)，學(xué)生完

2、全可以應(yīng)用對(duì)比、類比的研究方法將已有經(jīng)驗(yàn)遷移到對(duì)正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象的研究中去，同時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了正切函數(shù)的定義、單位圓中正切線和與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式等知識(shí)，這也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)的保障。再此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究其性質(zhì)與圖象，為解析幾何中直線的斜率與傾斜角的關(guān)系等后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好知識(shí)的鋪墊，本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用。二.研讀教材產(chǎn)生的困惑及解決策略困惑1：為什么要換“一個(gè)新的角度來(lái)研究正切函數(shù)的性質(zhì)”思考：學(xué)生經(jīng)歷了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的研究過(guò)程，即先圖象后性質(zhì)，而且教材在課前探究中也明確認(rèn)可這種

3、研究方式：“6你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，同同樣的方法研究正切函數(shù)圖象與性質(zhì)”？但接下來(lái)卻筆鋒一轉(zhuǎn)：“有了前面的知識(shí)準(zhǔn)備，我們可以從一個(gè)新的角度來(lái)研究正切函數(shù)的性質(zhì)”，并且為了體現(xiàn)這種新的研究方式，本節(jié)課題也調(diào)整為“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”，即先性質(zhì)后圖象，可謂配合默契，用心良苦。教材為何舍棄學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，舍熟悉而就陌生？難道僅僅是為了換一個(gè)新的角度？通過(guò)對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)和教師用書(shū)的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)教學(xué)是思維教學(xué)，數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是發(fā)展學(xué)生的理性思維、培養(yǎng)理性精神。因此本節(jié)課承

4、載的教學(xué)任務(wù)不僅僅是交給學(xué)生具體的知識(shí)，更重要的是以知識(shí)為載體，教授學(xué)生如何“研究”！一般地，研究函數(shù)常見(jiàn)的方式有兩種：（1）當(dāng)對(duì)函數(shù)性質(zhì)知之甚少時(shí)，可以通過(guò)描點(diǎn)繪圖，通過(guò)觀察圖象獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)；（2）當(dāng)對(duì)函數(shù)性質(zhì)有一定的了解時(shí)，可以先根據(jù)性質(zhì)“精細(xì)化”做出“精美化”的圖象，再利用圖象研究其他性質(zhì)。教材顯然采用了第二種研究思路，這樣做的好處不僅給學(xué)生提供了研究函數(shù)的另一個(gè)視角，而且加強(qiáng)了理性思考的成分，使數(shù)形結(jié)合思想得到更全面的體現(xiàn)。策略：有了以上認(rèn)識(shí)并結(jié)合學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，采用了以下教學(xué)策略：先

5、啟動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備（正切函數(shù)的定義、單位圓中的正切線、與正切有關(guān)的誘導(dǎo)公式），然后組織學(xué)生利用這些知識(shí)，自行研究正切函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性），結(jié)合研究出來(lái)的部分性質(zhì)利用正切線，合作探究作出正切函數(shù)的圖象，最后結(jié)合圖象，回扣性質(zhì)，達(dá)到認(rèn)識(shí)的再次升華。困惑2：由6就可以認(rèn)定正切函數(shù)的最小正周期是嗎思考：由誘導(dǎo)公式,固然可以說(shuō)明是正切函數(shù)的一個(gè)周期，但怎么說(shuō)明是正切函數(shù)的最小正周期呢？難道就因?yàn)檎也坏奖雀〉某?shù)滿足嗎？備課過(guò)程中有老師提出既然本節(jié)的研究方式是先性質(zhì)后圖

6、象，就應(yīng)該利用周期函數(shù)的定義，給出嚴(yán)格的證明。但經(jīng)過(guò)對(duì)課標(biāo)的研讀，大家認(rèn)識(shí)到，對(duì)于三角函數(shù)的周期與最小正周期，教學(xué)中一般只要弄清定義，并根據(jù)三角函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線，觀察得出結(jié)論就可以了，同時(shí)，教材旁白批注中也有明確說(shuō)明：“本書(shū)證明從略”，因此，“嚴(yán)格證明”留給學(xué)有余力的同學(xué)課后進(jìn)行。策略：教學(xué)中仍然采用由誘導(dǎo)公式說(shuō)明是正切函數(shù)的一個(gè)周期，然后由單位圓中的正切線直觀說(shuō)明也是正切函數(shù)的最小正周期，最后再?gòu)恼泻瘮?shù)的圖象上加以確認(rèn)，這樣做，既培養(yǎng)了學(xué)生的直觀思維，同時(shí)也達(dá)到了認(rèn)識(shí)的螺旋上升。困惑3.

7、為何在區(qū)間內(nèi)研究正切函數(shù)的單調(diào)性思考：明確了正切函數(shù)的最小正周期是，為我們研究正切函數(shù)的單調(diào)性提供了極大的方便，原則上我們可以任意選擇一個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間作為一個(gè)基本周期區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)完成對(duì)正切函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)。從學(xué)生認(rèn)知角度，這個(gè)基本周期區(qū)間很自然地取，但教材中“由正切線的變化規(guī)律可以得出，正切函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)”6不符合學(xué)生的認(rèn)知水平，是教材編寫(xiě)者的一廂情愿。如何使單調(diào)遞增區(qū)間自然地呈現(xiàn)出來(lái)，是體現(xiàn)教師智慧的地方。研讀教材，還是應(yīng)該抓住“角x在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，正切線的變化規(guī)律”這個(gè)抓手，利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示

8、功能，角x的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，學(xué)生可以直觀地觀察到：當(dāng)時(shí)，正切值隨著角度x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，正切值同樣隨著角度x的增大而增大，但將改寫(xiě)為，總像是“魔術(shù)師帽子里跳出來(lái)的兔子”，突兀生硬。策略：教師與其在這里花費(fèi)大量精力引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化區(qū)間的表示，不如采用“延時(shí)研究”策略，先分段研究正切函數(shù)在、、、內(nèi)的單調(diào)性，作出圖象之后，再結(jié)合正切函數(shù)的周期性，得出正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，拓展學(xué)生的“學(xué)術(shù)研究時(shí)間”，理清知識(shí)發(fā)生的本