正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的教學困惑與解決策略

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1、“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”的教學困惑與解決策略董海濤安徽省阜陽市第三中學（236006）安徽省高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課大賽終于落下帷幕，參賽選手向觀摩教師奉獻了一節(jié)節(jié)異彩紛呈的課堂實操，其中的一節(jié)課“1.4.3正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)”（人民教育出版社普通高中課程標準試驗教科書必修4（A版）（以下簡稱教材）），深受評委和觀摩教師的好評，筆者全程參與了該選手的備課環(huán)節(jié)，現(xiàn)將備課過程中的困惑與以及解決策略整理如下，與同行交流。一.對本節(jié)內(nèi)容的認識本節(jié)課是在研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后，研究的另一類三角函數(shù)，學生完

2、全可以應用對比、類比的研究方法將已有經(jīng)驗遷移到對正切函數(shù)的性質(zhì)和圖象的研究中去，同時，學生已經(jīng)掌握了正切函數(shù)的定義、單位圓中正切線和與正切有關(guān)的誘導公式等知識，這也為本節(jié)課的學習提供了知識的保障。再此基礎(chǔ)上，進一步研究其性質(zhì)與圖象，為解析幾何中直線的斜率與傾斜角的關(guān)系等后續(xù)內(nèi)容的學習做好知識的鋪墊，本節(jié)內(nèi)容具有承前啟后的作用。二.研讀教材產(chǎn)生的困惑及解決策略困惑1：為什么要換“一個新的角度來研究正切函數(shù)的性質(zhì)”思考：學生經(jīng)歷了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的研究過程，即先圖象后性質(zhì)，而且教材在課前探究中也明確認可這種

3、研究方式：“6你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗，同同樣的方法研究正切函數(shù)圖象與性質(zhì)”？但接下來卻筆鋒一轉(zhuǎn)：“有了前面的知識準備，我們可以從一個新的角度來研究正切函數(shù)的性質(zhì)”，并且為了體現(xiàn)這種新的研究方式，本節(jié)課題也調(diào)整為“正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象”，即先性質(zhì)后圖象，可謂配合默契，用心良苦。教材為何舍棄學生的最近發(fā)展區(qū)，舍熟悉而就陌生？難道僅僅是為了換一個新的角度？通過對課程標準和教師用書的學習，我們認識到：數(shù)學教學是思維教學，數(shù)學教育的核心任務是發(fā)展學生的理性思維、培養(yǎng)理性精神。因此本節(jié)課承

4、載的教學任務不僅僅是交給學生具體的知識，更重要的是以知識為載體，教授學生如何“研究”！一般地，研究函數(shù)常見的方式有兩種：（1）當對函數(shù)性質(zhì)知之甚少時，可以通過描點繪圖，通過觀察圖象獲得對函數(shù)性質(zhì)的直觀認識；（2）當對函數(shù)性質(zhì)有一定的了解時，可以先根據(jù)性質(zhì)“精細化”做出“精美化”的圖象，再利用圖象研究其他性質(zhì)。教材顯然采用了第二種研究思路，這樣做的好處不僅給學生提供了研究函數(shù)的另一個視角，而且加強了理性思考的成分，使數(shù)形結(jié)合思想得到更全面的體現(xiàn)。策略：有了以上認識并結(jié)合學生的知識儲備，采用了以下教學策略：先

5、啟動學生已有的知識儲備（正切函數(shù)的定義、單位圓中的正切線、與正切有關(guān)的誘導公式），然后組織學生利用這些知識，自行研究正切函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性、對稱性），結(jié)合研究出來的部分性質(zhì)利用正切線，合作探究作出正切函數(shù)的圖象，最后結(jié)合圖象，回扣性質(zhì)，達到認識的再次升華。困惑2：由6就可以認定正切函數(shù)的最小正周期是嗎思考：由誘導公式,固然可以說明是正切函數(shù)的一個周期，但怎么說明是正切函數(shù)的最小正周期呢？難道就因為找不到比更小的常數(shù)滿足嗎？備課過程中有老師提出既然本節(jié)的研究方式是先性質(zhì)后圖

6、象，就應該利用周期函數(shù)的定義，給出嚴格的證明。但經(jīng)過對課標的研讀，大家認識到，對于三角函數(shù)的周期與最小正周期，教學中一般只要弄清定義，并根據(jù)三角函數(shù)曲線或單位圓中的三角函數(shù)線，觀察得出結(jié)論就可以了，同時，教材旁白批注中也有明確說明：“本書證明從略”，因此，“嚴格證明”留給學有余力的同學課后進行。策略：教學中仍然采用由誘導公式說明是正切函數(shù)的一個周期，然后由單位圓中的正切線直觀說明也是正切函數(shù)的最小正周期，最后再從正切函數(shù)的圖象上加以確認，這樣做，既培養(yǎng)了學生的直觀思維，同時也達到了認識的螺旋上升。困惑3.

7、為何在區(qū)間內(nèi)研究正切函數(shù)的單調(diào)性思考：明確了正切函數(shù)的最小正周期是，為我們研究正切函數(shù)的單調(diào)性提供了極大的方便，原則上我們可以任意選擇一個長度為的區(qū)間作為一個基本周期區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)完成對正切函數(shù)單調(diào)性的認識。從學生認知角度，這個基本周期區(qū)間很自然地取，但教材中“由正切線的變化規(guī)律可以得出，正切函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)”6不符合學生的認知水平，是教材編寫者的一廂情愿。如何使單調(diào)遞增區(qū)間自然地呈現(xiàn)出來，是體現(xiàn)教師智慧的地方。研讀教材，還是應該抓住“角x在旋轉(zhuǎn)過程中，正切線的變化規(guī)律”這個抓手，利用幾何畫板的動態(tài)演示

8、功能，角x的終邊繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，學生可以直觀地觀察到：當時，正切值隨著角度x的增大而增大，當時，正切值同樣隨著角度x的增大而增大，但將改寫為，總像是“魔術(shù)師帽子里跳出來的兔子”，突兀生硬。策略：教師與其在這里花費大量精力引導學生優(yōu)化區(qū)間的表示，不如采用“延時研究”策略，先分段研究正切函數(shù)在、、、內(nèi)的單調(diào)性，作出圖象之后，再結(jié)合正切函數(shù)的周期性，得出正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，拓展學生的“學術(shù)研究時間”，理清知識發(fā)生的本