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《D78常系數(shù)非齊次線性微分方程第5次》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、常系數(shù)非齊次線性微分方程第八節(jié)一、二、第七章1二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法2一、?為實(shí)數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得為m次多項(xiàng)式.(1)若?不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為Q(x)為m次待定系數(shù)多項(xiàng)式3(2)若?是特征方程的單根,為m次多項(xiàng)式,故特解形式為(3)若?是特征方程的重根,是m次多項(xiàng)式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)
2、線性微分方程.即即當(dāng)?是特征方程的k重根時(shí),可設(shè)特解4例1.的一個(gè)特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為5例2.的通解.解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為6例3.求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得7于是所求解為解得8對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的k重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.9二、例4.的
3、一個(gè)特解.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解10例5.的通解.解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為11例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:12內(nèi)容小結(jié)?為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.1
4、3思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為時(shí)可設(shè)特解為提示:1.(填空)設(shè)142.求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為153.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為16
