《空間向量與垂直關(guān)系》

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1、第2課時(shí)　空間向量與垂直關(guān)系1．能利用平面法向量證明兩個(gè)平面垂直．2．能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關(guān)系.1．求直線的方向向量和平面的法向量．(重點(diǎn))2．利用方向向量和法向量處理線線、線面、面面間的垂直問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))在上一節(jié)中，我們研究了空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面的平行關(guān)系與直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系；那么，直線的方向向量和平面的法向量與空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系間又有什么聯(lián)系呢？空間垂直關(guān)系的向量表示空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直面面垂直設(shè)直線l的方向向量為

2、a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?.設(shè)直線l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?.若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?.a⊥ba∥uu·v＝0解析：因?yàn)棣痢挺?，則它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.答案：B2．若直線l的方向向量為a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量為u＝(4,0,8)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．l

3、與α斜交解析：∵a∥u，∴l(xiāng)⊥α.答案：B1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BD的中點(diǎn)，求證：(1)AC1⊥BD，(2)AC1⊥A1E.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為AB、B1C的中點(diǎn)．試用向量法判斷MN與平面A1BD的位置關(guān)系．[題后感悟]用向量法證明線面垂直的方法與步驟2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD.[題后感悟]利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑，一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直

4、進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直．3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，

5、AB

6、＝

7、BC

8、＝2，

9、BB1

10、＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.證明：由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，以直線BA，BC，BB1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，空間中的垂直關(guān)系及其向量證明方法(1)線線垂直①證明兩直線的方向向量垂直．②證明兩直線所成角為90°.③先證明線面垂直，利用線面垂直的性質(zhì)．(2)線面垂直①證明直線的方向向量與平面的

11、法向量平行．②證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量垂直．③先證明面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)．(3)面面垂直①證明兩平面的法向量相互垂直．②證明兩個(gè)半平面內(nèi)同時(shí)垂直于棱的兩個(gè)向量(起點(diǎn)在棱上)夾角為90°.③轉(zhuǎn)化為線線垂直或線面垂直．[提醒]根據(jù)題目條件，要靈活選擇基向量法還是坐標(biāo)法．◎在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為棱BB1的中點(diǎn)，在棱DD1上是否存在點(diǎn)P，使MD⊥平面PAC?【錯(cuò)解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，【錯(cuò)因】錯(cuò)解的原因是割裂了數(shù)形關(guān)系，沒(méi)考慮到幾

12、何體的特征，點(diǎn)P應(yīng)在線段DD1上，而不是其延長(zhǎng)線上．【正解】由以上步驟得x＝2∵0≤x≤1∴不存在點(diǎn)P使MD⊥平面PAC.