曲面積分與曲線積分

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1、§10．2對坐標(biāo)的曲線積分三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算第二類曲線積分的定義、定義的推廣對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功：設(shè)在xOy面內(nèi)有一個質(zhì)點(diǎn)，在變力F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線L移動到點(diǎn)B，試求變力F(x,y)所作的功．OxyABF(x,y)L一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功：OxyABL用點(diǎn)A?A0，A1，A2，···，An?1，An?B把

2、L分成n個小弧段，A1A2AkAk+1An-1F(xk,yk)顯然，變力F(x,y)沿有向小弧段AkAk+1所作的功可以近似為?[P(xk,yk)costk?Q(xk,yk)sintk]?sk．則于是，變力F(x,y)所作的功從而這里t?t(x,y)，{cost,sint}是曲線L在點(diǎn)(x,y)處的與曲線方向一致的單位切向量．對坐標(biāo)的曲線積分的定義：設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線，{cost,sint}是與曲線方向一致的單位切向量，函數(shù)P(x,y)、Q(x,y)在L上有定義．如果下列二式右端的積

3、分存在，我們就定義對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分．定義的推廣：設(shè)G為空間內(nèi)一條光滑有向曲線，{cosa,cosb,cosg}是曲線在點(diǎn)(x,y,z)處的與曲線方向一致的單位切向量，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在G上有定義．我們定義(假如各式右端的積分存在)對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式：對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)：(1)如果把L分成L1和L2，則(2)設(shè)L是有向曲線弧，?L是與L方向相反的有向曲線弧，則二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算應(yīng)注意的問題：下限a對應(yīng)于L的起點(diǎn)，上限b對應(yīng)

4、于L的終點(diǎn)，a不一定小于b．定理：設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在光滑有向曲線L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù)t單調(diào)在由a變到b時，點(diǎn)M(x,y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動到終點(diǎn)B，則若空間曲線G由參數(shù)方程x?j(t)，y=y(t)，z?w(t)給出，曲線的起點(diǎn)對應(yīng)于t=a，終點(diǎn)對應(yīng)于t=b，那么曲線積分討論：如何計(jì)算？{P[j(t),y(t),w(t)]j?(t)?Q[j(t),y(t),w(t)]y?(t)?R[j(t),y(t),w(t)w?(t)]}dt．提示：B(1,1)的一段?。獾谝环N方法：以

5、x為積分變量．L分為AO和OB兩部分．因此yxO1-11B(1,1)A(1,-1)B(1,1)的一段弧．yxO1-11B(1,1)A(1,-1)解第二種方法：以y為積分變量．L的方程為x?y2，y從?1變到1．因此x?y2(1)L為半徑為a、圓心為原點(diǎn)、按逆時針方向繞行的上半圓周；(2)L為從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(?a,0)的直線段．q從0變到?．解(1)L的參數(shù)方程為x?acosq，y?asinq，xyOA(a,0)B(?a,0)(2)L的方程為y?0，x從a變到?a．因此因此(3)有向折

6、線OAB，頂點(diǎn)分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)．OxyA(1,0)B(1,1)y?x2x?y2(1)拋物線y?x2上從O(0,0)到B(1,1)的一段?。?2)拋物線x?y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段?。唤?1)L：y?x2，x從0變到1．所以(2)L：x?y2，y從0變到1．所以(3)有向折線OAB，頂點(diǎn)分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)．OxyA(1,0)B(1,1)y?x2x?y2(1)拋物線y?x2上從O(0,0)到B(1,1)的一段??；(2)拋物線x?

7、y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧；=0+1=1．解(3)L=OA+AB，點(diǎn)B(0,0,0)的直線段．x?3t，y?2t，x?t，t從1變到0．所以例5設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在M(x,y)處受到力F的作用，F(xiàn)的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比，F(xiàn)的方向恒指向原點(diǎn)．此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a,0)沿按逆時針方向移動到點(diǎn)B(0,b)，求力F所作的功．解橢圓的參數(shù)方程為由假設(shè)有F??k(xi?yj)，其中k>0是比例常數(shù)．于是OxyABabx?acost，y?bsint，F(xiàn)三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系由定義，得即類似地有若

8、令F?{P,Q,R}，T?{cosa,cosb,cosg}為有向曲線弧G上點(diǎn)(x,y,z)處單們切向量，dr?Tds?{dx,dy,dz}，則上述關(guān)系可寫為