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《隱函數(shù)的求導(dǎo)公式(III)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§9.5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).[例如]方程C<0時(shí),能確定隱函數(shù)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù)2)方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問題.本節(jié)討論:一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)【定理1】設(shè)函數(shù)則方程一個(gè)連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)存在的某鄰域使得則[說明]若第③條改為，則相應(yīng)地確定隱函數(shù)x=?(y),且有【例1
2、】【解】令則①②③故在(0,1)的某鄰域內(nèi)方程存在連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù)連續(xù);【解】令則【分析】y=y(x)【方法】(1)公式法；(2)推導(dǎo)法(直接法：兩邊對(duì)x求導(dǎo))【解Ⅱ】（推導(dǎo)法略）同理【總結(jié)】(1)公式法：求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)各自變量地位等同(2)推導(dǎo)法（直接法）：首先確定函數(shù)與自變量：y=y(x).方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，此時(shí)切記y=y(x).即對(duì)x求偏導(dǎo)，y要視為常數(shù).反之亦然.最后解出即可.(3)求出一階導(dǎo)數(shù)后，再求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，y仍要看作x的函數(shù)y=y(x).例如【解】令則【定理2】若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)
3、,定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則[說明]若第③條改為，則相應(yīng)確定隱函數(shù)x=x(y,z),且有【分析】z=z(x,y)【課本例2】設(shè)【解法1】利用隱函數(shù)求導(dǎo)——推導(dǎo)法(即直接法)再對(duì)x求導(dǎo)【解法2】利用——公式法設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)x,y,z地位等同【解法3】全微分法(已知可微時(shí)).對(duì)方程兩邊求全微分:每個(gè)變量都有微分兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)【總結(jié)】(1)公式法：求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)各自變量地位等同.即對(duì)x求偏導(dǎo)，y、z要視為常數(shù).反之亦然.(2)推導(dǎo)法（直接法）:首先確定函數(shù)與自變量：z=z(x,y).方程兩邊對(duì)自變量
4、x求偏導(dǎo)，此時(shí)切記z=z(x,y).最后解出即可.(或y)(或)(3)求出一階偏導(dǎo)數(shù)后，再求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，z仍要看作x、y的函數(shù)z=z(x,y).如上例(課本例2)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即【定理3】的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③且其偏導(dǎo)數(shù)按以下方法求得（推導(dǎo)法）:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)滿足:導(dǎo)數(shù)；即滿足條件有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)，則y視為常數(shù)設(shè)方程組(2)推導(dǎo)法（要求熟練掌握、記
5、憶）(1)Th3公式（繁雜不要求記）同理方程組兩邊再分別對(duì)y求偏導(dǎo),則x視為常數(shù),得【注意】【解1】直接代入公式(略)【解2】運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法（直接法)，將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)移項(xiàng)得將所給方程的兩邊對(duì)y求導(dǎo)，用同樣方法得解得【注意】關(guān)鍵正確找出誰是函數(shù),誰是自變量.【規(guī)律】一般地(假設(shè)所討論方程均存在隱函數(shù))②有幾個(gè)方程構(gòu)成的方程組就確定幾個(gè)隱函數(shù)；這些隱函數(shù)的自變量是其余的變量.①兩個(gè)方程的方程組確定兩個(gè)函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)的自變量是其余的變量.方程的個(gè)數(shù)＝隱函數(shù)的個(gè)數(shù)自變量個(gè)數(shù)=變量總個(gè)數(shù)–方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定[練習(xí)]習(xí)題8-5P371——5，
6、8——10[作業(yè)]習(xí)題8-5P371、3、5、10(1)(2).三、小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法（分以下幾種情況）【方法】(1)公式法：各個(gè)自變量地位等同.(2)推導(dǎo)法（直接法）：注意此時(shí)有因變量與自變量之分.關(guān)鍵要搞清哪個(gè)（些）變量是函數(shù)，哪個(gè)（些）變量是自變量.(3)可微時(shí)可利用全微分求解.
