自功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)

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1、自功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)自功率譜密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系的關(guān)系一、維納一、維納——辛欽定理辛欽定理∞?jωτ對于一般隨機過程X(t)：GX(ω)=∫RX(t,t+τ)edτ?∞QR(t,t+τ)=R(τ)若X(t)是平穩(wěn)過程則有：XX∴R(t,t+τ)=R(τ)=R(τ)XXX∞??jωτGR()ωτ==()edττF[]R()XX∫X??∞有：?1∞jωτ?1?RG()τ==()ωωedF[]G()ωXX∫X?∞?2π因為X(t)平穩(wěn)∴RX(τ)，GX(ω)是偶函數(shù)?！?G(ω)=2R(τ)cosωτdτ?X∫X0則有：?1∞?RX(τ)=∫GX

2、(ω)cosωτdω0?π二、維納二、維納——辛欽定理的推廣辛欽定理的推廣⑴直流信號X(t)=C⑵周期信號Y(t)=acos(ωt+θ）022在時域：QX(t)=C,R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]=E[C]=CX∞∞2∴R(τ)dτ=Cdτ→∞∫?∞X∫?∞2aQY(t)=acos(ωt+θ),R(τ)=cosωτ0Y022∞∞a∴R(τ)dτ=cosωτdτ→∞∫Y∫0?∞?∞2QR(τ),R(τ)不滿足絕對可積的條件，∴F變換不存在。XY傅氏變換絕對可積的條件限制了維納—辛欽定理的應(yīng)用。在頻域：⑴直流信號X(t)X(t)=C??兩者⑵周期信號X

3、(t)Y(t)=acos(ωt+θ)0??ω=0僅在?頻率上存在功率。ω=ω?0平均功率頻率點上功率=/0則其功率譜密度==→∞單位頻帶0帶寬既：GG(0)→∞，(ω)→∞XY0可以借助δ函數(shù)，將直流信號與周期信號在各個頻率點上的無限值用一個δ函數(shù)來表示，借助δ函數(shù)的傅氏變換??12()?πδω???cos(ωτπ)??[(δωωδ)+(ω+ω)]000?π?sin(ωτδ)??[(ωω)?δ(ω+ω)]000??j可利用函數(shù)的δF變換，來求⑴⑵兩特殊信號的功率譜密度。()=1G(ω)=2πδ(ω)RτXX0τ0ωG(ω)=π[δ(ω?ω)+δ(ω+ω)

4、]R(τ)=cosωτY00Y0?ωωω000τ例1隨相余弦過程Xt()=Acos(ω0t+Φ，其中)A、Φ為常數(shù)，Φ在(0,2)π上均勻分布，求X(t)的功率譜密度。2解：據(jù)以往結(jié)果，R()(τ=A)cos(ωτ)←求傅氏變換X2022AAGF()ω=?[cos()]ωτ=?πδωω[](?++)(δωω)X0002216例2已知平穩(wěn)過程X(t)具有功率譜密度：G(ω)=X42求其自相關(guān)函數(shù)，平均功率。ω+13ω+3616解：利用部分分式法GX(ω)=22(ω+4)(ω+9)1616554486=?=???2222ω+4ω+95ω+415ω+9?2α?

5、ατ?利用傅氏變換對?22?e??α+ω?4?2τ8?3τ∴自相關(guān)函數(shù)為：R(τ)=?e??eX515平均功率為：P==RR(0)()τXXτ=0??4823ττ??484=???ee??=?=??515=51515τ0三，物理功率譜密度：由于實際應(yīng)用中，負(fù)頻率不存在，所以定義一個僅在正頻率上存在的物理功率譜密度：?2()Gωω,0≥F(ω)XXF()ω=?X?............0,ω<0G(ω)X1∞jωτR()τ=Fed()ωωXX∫2π0111∞∞∞P===Gd()ωωω2()GdωωFd()ω∫∫∫XXX222π－∞ππ00