修正混合Halpern迭代序列的強收斂性【文獻綜述】

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1、畢業(yè)設計文獻綜述數(shù)學與應用數(shù)學修正混合Halpern迭代序列的強收斂性非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇,是泛函分析的理論和應用的一個重要組成部分,它的理論和方法不僅是線性最優(yōu)化的一個重要部分,而且在微分方程,積分方程,力學,控制論,對策論,經濟平衡理論,交通運輸,社會和經濟模型等許多方面都有著重要的應用.因此,研究非線性算子方程解的存在性及迭代算法理論不僅具有重要的理論意義,而且也具有重要的應用價值.而非線性算子方程的解往往可以轉化為某個非線性算子的不動點問題.自20世紀初著名的Banach壓縮映像原理和Brouwer不動點定理問世以來,特別是最近二三十年來,由于實際需要的推動和數(shù)學工作

2、者的不斷努力,這門學科的理論及應用的研究已取得重要的進展,并且日趨完善.非線性算子類型很多,包括壓縮映像,非擴張映像,偽壓縮映像,漸近非擴張映像,漸近偽壓縮映像,單調映像,增生映像等等.非擴張映像是壓縮映像的一種推廣,在求解方程的不動點的問題上起到很重要的作用,它在近代數(shù)學許多分支都有應用,特別是在非線性半群,遍歷定理和單調算子理論方面有著重要的應用.隨著非擴張映像不動點理論的發(fā)展,學者們得出了關于非擴張映像的一系列結論.其中,非擴張映像的定義為設是一實Banach空間,是中的閉凸子集,的一個映射,若,.則是一非擴張映像.Mann受到Banach壓縮映像原理的啟發(fā),在1953年,Mann引進了

3、如下迭代方法,稱為Mann迭代格式.(1.1)其中是Banach空間,是的閉凸子集,.對于非擴張映像我們可以利用Mann迭代序列得到弱收斂定理,而要想得到強收斂定理卻要加上一定的緊性條件.1974年,Ishikawa提出了比Mann迭代序列更一般的形式,即Ishikawa迭代序列（1.2）其中是Banach空間的閉凸子集,,.Mann迭代序列對于非擴張映像即使在Hilbert空間框架下也沒有強收斂定理,但是用Halpern迭代序列逼近非擴張映像不動點是一個有效的算法,可以得到強收斂定理.1967年,Halpern首次引進了如下迭代格式(1.3)Halpern指出如果迭代序列(1.3)收斂于中的

4、不動點.則滿足以下兩個條件,.1977年,Lions研究了在Hilbert空間中滿足下列條件,,.則迭代序列(1.3)強收斂于在中一個不動點.然而,Lions的條件在參數(shù)的選擇上是更加嚴格,但是排除了的這種自然選擇.1980年,Reich提出如果空間是一個一致光滑的,并且則有迭代序列(1.3)強收斂于的一個不動點.最近Xu改進了Lions的結果,他證明了如果滿足條件,,.則迭代序列(1.3)強收斂.1992年,Wittmann克服了這個缺陷,指出當是一個Hilbert空間,并且滿足,,.則迭代序列(1.3)強收斂于在中一個不動點.1994年,Reich指出當是一個一致光滑并且具有弱連續(xù)的對偶映

5、像,可以減少兩個必要的條件,迭代(1.3)也成立.最近Chang繼續(xù)研究迭代格式,當是一致光滑Banach空間,并且滿足,,.則強收斂于的一個不動點.張石生教授在最近的文章中也證明了上述定理.同時,關于迭代參數(shù)限制的放寬和算法的改進研究一直是該領域的重要課題.引入復合Halpern迭代程序得到了非擴張映像的強收斂定理不僅具有重要的理論意義,而且也具有重要的應用價值.近幾年秦小龍等人給出如下復合Halpern迭代格式(1.4)其中,u是中任一給定的一個點,,和是中的實序列.在參數(shù),和滿足一定條件下,證明了在(1.4)定義下的強收斂于的一個不動點.在(1.4)中,如果,,那么我們就得到通常的Hal

6、pern迭代格式(1.3).當,則(1.4)迭代格式如下(1.5)稱此迭代格式為兩步Halpern迭代格式.2007年,邢林芳研究了非擴張映像不動點的迭代逼近問題以及應用.2008年,Qin,Su和Shang引入的復合Halpern迭代更一般的具誤差項的-步復合Halpern新迭代,在一致光滑Banach空間框架下,對迭代參數(shù)作適當?shù)募俣?證明了此算法強收斂于非擴張映射的不動點,從而將Qin、Su和Shang的2008年結果從無誤差項的三步復合Halpern迭代本質地推廣到具誤差項的多步復合Halpern迭代.與此同時,姚永紅等人提出兩步Halpern迭代,而秦小龍等人提出了三步粘滯迭代序列,

7、證明了強收斂到的不動點,其中是非擴張映像.近幾年來,粘滯迭代方法也是眾多學者關注的對象,不僅利用這種方法研究非線性算子方程的不動點,而且用來研究變分不等式解的問題.2000年,Moudafi引入粘滯迭代方法逼近給定非擴張映像的特定不動點,具體證明了如下定理定理1設是一致光滑的Banach空間,是的閉凸子集,映像是具有非空不動點集的非擴張映像,是一收縮.又設序列且滿足下列條件限制;;或.那么由迭代格