修正混合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)修正混合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇,是泛函分析的理論和應(yīng)用的一個(gè)重要組成部分,它的理論和方法不僅是線性最優(yōu)化的一個(gè)重要部分,而且在微分方程,積分方程,力學(xué),控制論,對(duì)策論,經(jīng)濟(jì)平衡理論,交通運(yùn)輸,社會(huì)和經(jīng)濟(jì)模型等許多方面都有著重要的應(yīng)用.因此,研究非線性算子方程解的存在性及迭代算法理論不僅具有重要的理論意義,而且也具有重要的應(yīng)用價(jià)值.而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個(gè)非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)問題.自20世紀(jì)初著名的Banach壓縮映像原理和Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理問世以來,特別是最近二三十年來,由于實(shí)際需要的推動(dòng)和數(shù)學(xué)工作

2、者的不斷努力,這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究已取得重要的進(jìn)展,并且日趨完善.非線性算子類型很多,包括壓縮映像,非擴(kuò)張映像,偽壓縮映像,漸近非擴(kuò)張映像,漸近偽壓縮映像,單調(diào)映像,增生映像等等.非擴(kuò)張映像是壓縮映像的一種推廣,在求解方程的不動(dòng)點(diǎn)的問題上起到很重要的作用,它在近代數(shù)學(xué)許多分支都有應(yīng)用,特別是在非線性半群,遍歷定理和單調(diào)算子理論方面有著重要的應(yīng)用.隨著非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展,學(xué)者們得出了關(guān)于非擴(kuò)張映像的一系列結(jié)論.其中,非擴(kuò)張映像的定義為設(shè)是一實(shí)Banach空間,是中的閉凸子集,的一個(gè)映射,若,.則是一非擴(kuò)張映像.Mann受到Banach壓縮映像原理的啟發(fā),在1953年,Mann引進(jìn)了

3、如下迭代方法,稱為Mann迭代格式.(1.1)其中是Banach空間,是的閉凸子集,.對(duì)于非擴(kuò)張映像我們可以利用Mann迭代序列得到弱收斂定理,而要想得到強(qiáng)收斂定理卻要加上一定的緊性條件.1974年,Ishikawa提出了比Mann迭代序列更一般的形式,即Ishikawa迭代序列（1.2）其中是Banach空間的閉凸子集,,.Mann迭代序列對(duì)于非擴(kuò)張映像即使在Hilbert空間框架下也沒有強(qiáng)收斂定理,但是用Halpern迭代序列逼近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)有效的算法,可以得到強(qiáng)收斂定理.1967年,Halpern首次引進(jìn)了如下迭代格式(1.3)Halpern指出如果迭代序列(1.3)收斂于中的

4、不動(dòng)點(diǎn).則滿足以下兩個(gè)條件,.1977年,Lions研究了在Hilbert空間中滿足下列條件,,.則迭代序列(1.3)強(qiáng)收斂于在中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).然而,Lions的條件在參數(shù)的選擇上是更加嚴(yán)格,但是排除了的這種自然選擇.1980年,Reich提出如果空間是一個(gè)一致光滑的,并且則有迭代序列(1.3)強(qiáng)收斂于的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).最近Xu改進(jìn)了Lions的結(jié)果,他證明了如果滿足條件,,.則迭代序列(1.3)強(qiáng)收斂.1992年,Wittmann克服了這個(gè)缺陷,指出當(dāng)是一個(gè)Hilbert空間,并且滿足,,.則迭代序列(1.3)強(qiáng)收斂于在中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).1994年,Reich指出當(dāng)是一個(gè)一致光滑并且具有弱連續(xù)的對(duì)偶映

5、像,可以減少兩個(gè)必要的條件,迭代(1.3)也成立.最近Chang繼續(xù)研究迭代格式,當(dāng)是一致光滑Banach空間,并且滿足,,.則強(qiáng)收斂于的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).張石生教授在最近的文章中也證明了上述定理.同時(shí),關(guān)于迭代參數(shù)限制的放寬和算法的改進(jìn)研究一直是該領(lǐng)域的重要課題.引入復(fù)合Halpern迭代程序得到了非擴(kuò)張映像的強(qiáng)收斂定理不僅具有重要的理論意義,而且也具有重要的應(yīng)用價(jià)值.近幾年秦小龍等人給出如下復(fù)合Halpern迭代格式(1.4)其中,u是中任一給定的一個(gè)點(diǎn),,和是中的實(shí)序列.在參數(shù),和滿足一定條件下,證明了在(1.4)定義下的強(qiáng)收斂于的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).在(1.4)中,如果,,那么我們就得到通常的Hal

6、pern迭代格式(1.3).當(dāng),則(1.4)迭代格式如下(1.5)稱此迭代格式為兩步Halpern迭代格式.2007年,邢林芳研究了非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近問題以及應(yīng)用.2008年,Qin,Su和Shang引入的復(fù)合Halpern迭代更一般的具誤差項(xiàng)的-步復(fù)合Halpern新迭代,在一致光滑Banach空間框架下,對(duì)迭代參數(shù)作適當(dāng)?shù)募俣?證明了此算法強(qiáng)收斂于非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn),從而將Qin、Su和Shang的2008年結(jié)果從無誤差項(xiàng)的三步復(fù)合Halpern迭代本質(zhì)地推廣到具誤差項(xiàng)的多步復(fù)合Halpern迭代.與此同時(shí),姚永紅等人提出兩步Halpern迭代,而秦小龍等人提出了三步粘滯迭代序列,

7、證明了強(qiáng)收斂到的不動(dòng)點(diǎn),其中是非擴(kuò)張映像.近幾年來,粘滯迭代方法也是眾多學(xué)者關(guān)注的對(duì)象,不僅利用這種方法研究非線性算子方程的不動(dòng)點(diǎn),而且用來研究變分不等式解的問題.2000年,Moudafi引入粘滯迭代方法逼近給定非擴(kuò)張映像的特定不動(dòng)點(diǎn),具體證明了如下定理定理1設(shè)是一致光滑的Banach空間,是的閉凸子集,映像是具有非空不動(dòng)點(diǎn)集的非擴(kuò)張映像,是一收縮.又設(shè)序列且滿足下列條件限制;;或.那么由迭代格