2019-2020年蘇教版高中數(shù)學（必修5）1.3《正弦定理、余弦定理的應用》word學案

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1、2019-2020年蘇教版高中數(shù)學（必修5）1.3《正弦定理、余弦定理的應用》word學案一自主學習：1會在各種應用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題的基本圖形和基本等量關系；3理解各種應用問題中的有關名詞、術語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力學習重點：實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法學習難點：實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化思路的確定二學法指導解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應用，如果

2、我們抽去每個應用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學問題的能力三合作學習1BCDA2某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間分析：設艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以

3、求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題設艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ海里，AC＝10海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，根據(jù)余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°得(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，即36ｘ2－9ｘ2×10＝0解得ｘ1＝，ｘ2＝－(舍去)∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6再由余弦定理可得cos∠BAC＝∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°4

4、7′所以艦艇方位角為66°47′，小時即40分鐘答：艦艇應以66°47′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0°，360°）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理3:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先

5、需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關系四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，Ｓ△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等邊△PDC的面積關鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決設∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)＝2sin(θ－)＋∴當θ－＝

6、即θ＝時，ｙmax＝2＋評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應要求學生予以重視四當堂檢測1在任一△ABC中求證：2在△ABC中，已知，，B=45°求A、C及c解一：由正弦定理由正弦定理得：∵B=45°<90°即b

7、設c=x由余弦定理將已知條件代入，整理：解之：當時從而A=60°，C=75°當時同理可求得：A=120°，C=15°3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的兩個根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度數(shù)（2）AB的長度（3）△ABC的面積1）cosC=cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=-∴C=120°（2）由題設：∴AB2=AC2+BC2-2AC?BC?osC即AB=（3）S△ABC=4如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD,AD=10,AB=14,DBDA=60°,DBCD=135°求BC的長解：在△ABD中，設BD=x則

8、即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：∴5甲船自A港口出發(fā)時，乙船在離A港口7nmile的海面上