2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（必修5）1.3《正弦定理、余弦定理的應(yīng)用》word學(xué)案

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1、2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（必修5）1.3《正弦定理、余弦定理的應(yīng)用》word學(xué)案一自主學(xué)習(xí)：1會在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；2搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系；3理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；4通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實際問題的能力學(xué)習(xí)重點：實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法學(xué)習(xí)難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定二學(xué)法指導(dǎo)解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果

2、我們抽去每個應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力三合作學(xué)習(xí)1BCDA2某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以

3、求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ海里，AC＝10海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，根據(jù)余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°得(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘcos120°，即36ｘ2－9ｘ2×10＝0解得ｘ1＝，ｘ2＝－(舍去)∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6再由余弦定理可得cos∠BAC＝∴∠BAC＝21°47′，45°＋21°47′＝66°4

4、7′所以艦艇方位角為66°47′，小時即40分鐘答：艦艇應(yīng)以66°47′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0°，360°）在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理3:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先

5、需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，Ｓ△OPC可用·OP·OC·sinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)＝2sin(θ－)＋∴當θ－＝

6、即θ＝時，ｙmax＝2＋評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學(xué)生予以重視四當堂檢測1在任一△ABC中求證：2在△ABC中，已知，，B=45°求A、C及c解一：由正弦定理由正弦定理得：∵B=45°<90°即b

7、設(shè)c=x由余弦定理將已知條件代入，整理：解之：當時從而A=60°，C=75°當時同理可求得：A=120°，C=15°3在△ABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程的兩個根，且2cos(A+B)=1求（1）角C的度數(shù)（2）AB的長度（3）△ABC的面積1）cosC=cos[p-(A+B)]=-cos(A+B)=-∴C=120°（2）由題設(shè)：∴AB2=AC2+BC2-2AC?BC?osC即AB=（3）S△ABC=4如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD,AD=10,AB=14,DBDA=60°,DBCD=135°求BC的長解：在△ABD中，設(shè)BD=x則

8、即整理得：解之：（舍去）由余弦定理：∴5甲船自A港口出發(fā)時，乙船在離A港口7nmile的海面上