伴隨矩陣的性質(zhì)及運用（頁）

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1、伴隨矩陣的性質(zhì)及運用鄧文斌09數(shù)計（2）班電話：13697032201摘要伴隨矩陣是矩陣的重要概念，冇它可以推導(dǎo)出方陣的逆矩陣的計算公式從而解決方陣求逆的問題。同時伴隨矩陣的性質(zhì)也相當(dāng)重要，木文列舉了伴隨矩陣的若干性質(zhì)及給出了相關(guān)證明，最后給出了用性質(zhì)解決問題。關(guān)鍵字：矩陣；伴隨矩陣;性質(zhì)；運用引言因為伴隨矩陣是學(xué)習(xí)矩陣的一個重要知識點在計算中經(jīng)常出現(xiàn)把矩陣的伴隨矩陣看作一般的一個矩陣來研究.給出了伴隨矩陣的秩、伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置、伴隨矩陣的特征值、幾個特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)以及伴隨矩陣的其他性質(zhì)?

2、這些性質(zhì)能幫我們方便解決在計算矩陣時遇到的問題.1.伴隨矩陣的定義°iia2…°巾設(shè)州是矩陣A=夠如…%屮元素知?的代數(shù)余子式，矩陣????????????Ai41…Ah血血…人2稱為A的伴隨矩陣。AhA.A的伴隨矩陣/T冇兩步驟定義：（1）把A的每個元素都換成它的代數(shù)余子式，（代數(shù)余子式定義：在一個n級行列式D〕

3、i,把元素第i行第j列元素陶（i,j=1,2,oooon）所在的行與列劃去后,剩下的（n-1）2個元素按照原來的次序組成一個n-1階行列式稱為元索知的余子式，M“帶上符號（-1），+

4、7稱為陶的代數(shù)余子式，記作每=（-1廣叫。）（2）將所得到的矩陣轉(zhuǎn)置便得到A的伴隨矩陣。2.伴隨矩陣的實例2」二階伴隨矩陣的求法設(shè)A是一個二階矩陣如則有a可得州（i,j=l,2）為代數(shù)余了務(wù)3如A.=(-1尸*如=a22A2=（-1嚴(yán)％=~a2l=(-1嚴(yán)憶2=~a!2=(-l)2+2*an=al則A的伴隨矩陣才為11“I?]如。14_

5、。21~a22.2三階伴隨矩陣的求法All二(-1廠2*(a22*a33--a23A12二(-1廠3*(a21*a33--a23A13二(-1廠4*(a21*

6、a32--a22A21二(-1廠3*(al2*a33--al3A33二(-1廠6*(all*a22--al2首先求出各代數(shù)余了式*a32)二a22*a33-a23*a32*a31)二-a21*a33+a23*a31*a31)二a21*a32-a22*a31*a32)二-al2*a33+al3*a32*a21)二all*a22-al2*a21對于三階矩陣a\ai2ai3a21a22a23_a3a32a33_然后伴隨矩陣就是A.A2A3A321.伴隨矩陣的性質(zhì)3.1AA^=A^A=

7、A

8、E,E為n

9、階單位矩陣。3.2矩陣A式可逆矩陣的充分必要條件是A非退化，而A-'=丄“d（〃=

10、十0）證明：當(dāng)d=

11、川工0,由宀丄才(1、(1、—d)Jd)AA=E可知，A可逆，1反過來，如果A可逆,那么有4一】使A~lA=E兩邊去行列式，得a_i

12、

13、a

14、=

15、e

16、=i因而A」工0,即A非退化。該性質(zhì)用來肓接求逆矩陣，對丁?求逆矩陣和矩陣證明冇用。3.3若A為非奇異矩陣，貝lJ(A-1)*=(A：9_，證明：因為(M)-1=丄由獷=丄"兩邊取逆可得kd心附)另一-方面，由獷=丄才,d有(町d可得(獷)胡A綜上

17、，(獷)*=(心“該性質(zhì)說明了A的逆你伴隨矩陣和A的聯(lián)系。3.伴隨矩陣的性質(zhì)3.1令A(yù),B為n階矩陣,則(1)A對稱=>"對稱；(2)A正交o"正交；(3)若A與B等價,貝IJ”與刃也等價;(4)若A與B相似，則/T與戌也相似;(5)若A與B合同，則"與刃也合同;(6)A二Bn”二戌；(7)A正加=>”正泄;(8)A為可逆矩陣=>"為可逆矩陣；(1)如果A是可逆矩陣，那么A為反對稱為反對稱.證明：這里只證(1),(2),其余的這里就不再證明了。(1)v(A*)r=(Ar)*=A/.A*為對稱矩陣

18、;(2)因為A是正交矩陣，故AAr=E,AA')t=AATY=(AtAY=E*=E<=>A*是止交矩陣.4.2

19、A*

20、=

21、A

22、n_，,其中A是n階方陣(n>2)證明：若ao,vAA*=

23、a

24、e,.Iaa*

25、=

26、a

27、w，/.

28、a

29、

30、a*=

31、殲,.??An=

32、a廠若

33、a

34、=o,這時秩a*

35、a*

36、=o,而也有

37、a*

38、=

39、4，-1綜上得

40、A*

41、=

42、A

43、n_1/2,當(dāng)秩A=n時4.3設(shè)A為n階矩陣，則秩A*=1,當(dāng)秩A=n?l時0,當(dāng)秩A

44、于

45、A*

46、=

47、A

48、n_，,故A*也是可逆的,即秩/f=n當(dāng)秩A=n-1時，有

49、A

50、=0,于是，A4，=

51、A

52、<￡=0,從而秩A*<1；又因秩A=n-1,所以至少有一個代數(shù)余了式每H0,從而又有秩A*>1,于是秩才=1當(dāng)0S秩As-1時,A*=0,即此時秩A*=04.4若AS,則(Ar)*=A*證明:(Ary=K

53、(Ar)_1=A*4.5設(shè)k為常數(shù)，(R町斗一f證明：(比町=網(wǎng)

54、(肋廣=￡”

55、力片

56、獷=嚴(yán)久。4.6當(dāng)A可逆時,（町'=（巧*=詁。證明：由AA*=

57、a

58、E,（A"）=j