數(shù)學(xué)探究中的模型建構(gòu)

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1、數(shù)學(xué)模型理解與建構(gòu)的心理機(jī)制及其教育啟示浙江省仙居縣教育局教研室吳增牛地址:浙江省仙居縣穿城中路31號(hào)電話:13819661197email:wzs2678@163.com數(shù)學(xué)模型是思維的支撐點(diǎn)，也是知識(shí)的附著點(diǎn).學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和抽象都是針對一?定的模型進(jìn)行的，概念模型不僅是數(shù)學(xué)概念的典型樣例，而H是數(shù)學(xué)概念表征的重要方式,人們以模型與特征捆綁的圖式化表征與概念關(guān)系表征相結(jié)合的方式理解數(shù)學(xué)概念及概念體系［1］；對數(shù)學(xué)棊木事實(shí)的理解與發(fā)現(xiàn)則是根據(jù)模型的結(jié)構(gòu)特征，建立相關(guān)概念Z間的因杲聯(lián)系，沒有數(shù)學(xué)模型，也就談不上對反映模型特征、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的數(shù)學(xué)事實(shí)和數(shù)學(xué)原理的

2、理解和發(fā)現(xiàn)；學(xué)牛對數(shù)學(xué)思想方法的理解則是在解決數(shù)學(xué)問題（探索問題結(jié)構(gòu)特征和關(guān)系）的過程中，以解伏回題P勺程序?yàn)閷﹀柽M(jìn)行數(shù)學(xué)歸納和抽象，程序也是一種數(shù)學(xué)模型，本質(zhì)上也是對數(shù)學(xué)模型的特征、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的歸納和抽象;演繹推理是一種由因及果的程序，木質(zhì)上也是一種模型，如數(shù)學(xué)屮直接證明的“三段論”的基木模型是由人前提“M是P”、小前提“S是M”和結(jié)論“S是P”組成的邏輯程序，口J以用集合關(guān)系描述成“MwP,SwMnSwM”［2］；而反證法是建立在四種命題關(guān)系基礎(chǔ)上的推理程序.一、數(shù)學(xué)模型的涵義及其表現(xiàn)形式數(shù)學(xué)研究的核心對象是各種模型的結(jié)構(gòu)、特征和關(guān)系.數(shù)學(xué)模型指的是經(jīng)過數(shù)學(xué)抽

3、象的具有數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)的直觀對象，具有可觀察、可描述、可操縱（分拆、組合和變換）等特征，本質(zhì)上，模型是一個(gè)集合，它是人們對客觀對象的結(jié)構(gòu)、特征及其關(guān)系進(jìn)行抽象、分拆、重組和邏輯思辯的對象和產(chǎn)物.現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的三大基本結(jié)構(gòu)（序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)）中，序結(jié)構(gòu)是由序關(guān)系公理（①X/兀,ywA,xHy,有xCy或yCx；②X/x,y,zwA,如果xCy,yCz則xCz；③如果xCy,yCx則*y）［3］確立的元素關(guān)系的集合，是基于實(shí)數(shù)集屮人小關(guān)系研究對象泛化后進(jìn)一步抽象得到的新模型；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)研究指的是由系列集合經(jīng)過分拆、重組后得到的新的集類的拓?fù)涮卣鳎ㄍ負(fù)渥儞Q卞

4、的不變性）的研究，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是對實(shí)數(shù)集上極限連續(xù)微分等無窮小研究方法的基于研究對象泛化后進(jìn)一步抽象而得到的新的模型川U代數(shù)結(jié)構(gòu)則是基于數(shù)集中運(yùn)算特征（運(yùn)算的封閉性、運(yùn)算律具備性、單位元和逆元的存在性）的研究對象泛化后進(jìn)一步抽象而產(chǎn)生的新的模型.當(dāng)代數(shù)學(xué)的研究對彖是來口于廣泛領(lǐng)域的大范圍復(fù)雜系統(tǒng)的扁度抽象的數(shù)學(xué)模型及其系統(tǒng)?例如，動(dòng)力系統(tǒng)是當(dāng)代數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域，動(dòng)力系統(tǒng)中所研究的對象是由微分方程組所確定的時(shí)空空間結(jié)構(gòu)和相空間結(jié)構(gòu)；在非線性動(dòng)力系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)）研究中，兒何分析和函數(shù)疊代是重要的研究方法，微分方程（組）所確定的模型（動(dòng)力系統(tǒng)的“流”）的特征研究（如相圖、

5、不動(dòng)點(diǎn)、極限集、吸引子、周期軌）就構(gòu)成了動(dòng)力系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容.在初等數(shù)學(xué)中，考慮到學(xué)生的可學(xué)習(xí)性和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成的心理特點(diǎn)，初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是以模型結(jié)構(gòu)為線索進(jìn)行的，但仍然可見數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)思想的雛形?如數(shù)系的擴(kuò)展和數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)及其在此基礎(chǔ)上通過數(shù)的抽彖形成式的運(yùn)算的學(xué)習(xí)；從式子的運(yùn)算結(jié)果到運(yùn)算元索的逆向研究就構(gòu)成了方程和方程組的模型;在不等關(guān)系的抽象和特征研究中形成了不等式學(xué)習(xí)的內(nèi)容；在數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系模型研究中產(chǎn)生了一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)模型，經(jīng)過進(jìn)一步抽象后形成了抽象的函數(shù)模型；從三維空間中的元素分拆和現(xiàn)實(shí)圖形的抽象形成了

6、兒何研究的皋木模型：點(diǎn)、線、面、體，再通過這些基本模型的重組和變換就構(gòu)成了初等幾何學(xué)習(xí)與研究的豐富多彩的圖形和圖形關(guān)系.數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)形式是集合與集合系統(tǒng)，基本的農(nóng)現(xiàn)形式有：公理化形式、數(shù)量關(guān)系形式、圖形形式和程序形式，在初等數(shù)學(xué)中，皋木的表現(xiàn)形式是：“數(shù)一式”形式、圖形圖象形式、表格形式、程序與框圖形式.在具體模型中，可能是以上述四種基本形式的若干種結(jié)合和交叉的形式出現(xiàn)，而其中最重要的是“數(shù)一式”與圖形圖象基本形式的結(jié)合與交叉,這是產(chǎn)生“數(shù)形結(jié)合思想”的生長點(diǎn).二、理解和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的心理機(jī)制1.模型理解.所謂理解數(shù)學(xué)模型指的是知道給定的數(shù)學(xué)模型的由來，會(huì)以典型

7、數(shù)學(xué)模型為載體，解析相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、事實(shí)和原理，知道屬于不同數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)模型Z間的相互關(guān)系，會(huì)在變化背景的情況下辨別數(shù)學(xué)模型并利用該模型有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.(1)數(shù)學(xué)模型的理解是從整體到部分的過程，是從拓?fù)涞蕉攘康倪^程.對模型的知覺是理解數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)階段，數(shù)學(xué)模型的知覺主要是視知覺.我國學(xué)者陳霖提出了著名的“拓?fù)湫再|(zhì)知覺理論”，他認(rèn)為：“知覺的組織應(yīng)該是從變換和變換中的不變性知覺的角度來理解.兩個(gè)方面是，第一方面強(qiáng)調(diào)形狀知覺屮的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，這就是，知覺的組織的人范圍性質(zhì)能夠川拓?fù)洳蛔冃詠砻枋?；第二方而進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)早期拓?fù)湫再|(zhì)知覺，這就是，拓?fù)湫再|(zhì)知覺優(yōu)先于局部

8、特征性質(zhì)(