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《數(shù)學探究中的模型建構》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、數(shù)學模型理解與建構的心理機制及其教育啟示浙江省仙居縣教育局教研室吳增牛地址:浙江省仙居縣穿城中路31號電話:13819661197email:wzs2678@163.com數(shù)學模型是思維的支撐點，也是知識的附著點.學生對數(shù)學概念的理解和抽象都是針對一?定的模型進行的，概念模型不僅是數(shù)學概念的典型樣例，而H是數(shù)學概念表征的重要方式,人們以模型與特征捆綁的圖式化表征與概念關系表征相結(jié)合的方式理解數(shù)學概念及概念體系［1］；對數(shù)學棊木事實的理解與發(fā)現(xiàn)則是根據(jù)模型的結(jié)構特征，建立相關概念Z間的因杲聯(lián)系，沒有數(shù)學模型，也就談不上對反映模型特征、結(jié)構和關系的數(shù)學事實和數(shù)學原理的
2、理解和發(fā)現(xiàn)；學牛對數(shù)學思想方法的理解則是在解決數(shù)學問題（探索問題結(jié)構特征和關系）的過程中，以解伏回題P勺程序為對彖進行數(shù)學歸納和抽象，程序也是一種數(shù)學模型，本質(zhì)上也是對數(shù)學模型的特征、結(jié)構和關系的歸納和抽象;演繹推理是一種由因及果的程序，木質(zhì)上也是一種模型，如數(shù)學屮直接證明的“三段論”的基木模型是由人前提“M是P”、小前提“S是M”和結(jié)論“S是P”組成的邏輯程序，口J以用集合關系描述成“MwP,SwMnSwM”［2］；而反證法是建立在四種命題關系基礎上的推理程序.一、數(shù)學模型的涵義及其表現(xiàn)形式數(shù)學研究的核心對象是各種模型的結(jié)構、特征和關系.數(shù)學模型指的是經(jīng)過數(shù)學抽
3、象的具有數(shù)量關系和空間結(jié)構的直觀對象，具有可觀察、可描述、可操縱（分拆、組合和變換）等特征，本質(zhì)上，模型是一個集合，它是人們對客觀對象的結(jié)構、特征及其關系進行抽象、分拆、重組和邏輯思辯的對象和產(chǎn)物.現(xiàn)代數(shù)學研究的三大基本結(jié)構（序結(jié)構、拓撲結(jié)構和代數(shù)結(jié)構）中，序結(jié)構是由序關系公理（①X/兀,ywA,xHy,有xCy或yCx；②X/x,y,zwA,如果xCy,yCz則xCz；③如果xCy,yCx則*y）［3］確立的元素關系的集合，是基于實數(shù)集屮人小關系研究對象泛化后進一步抽象得到的新模型；拓撲結(jié)構研究指的是由系列集合經(jīng)過分拆、重組后得到的新的集類的拓撲特征（拓撲變換卞
4、的不變性）的研究，拓撲結(jié)構是對實數(shù)集上極限連續(xù)微分等無窮小研究方法的基于研究對象泛化后進一步抽象而得到的新的模型川U代數(shù)結(jié)構則是基于數(shù)集中運算特征（運算的封閉性、運算律具備性、單位元和逆元的存在性）的研究對象泛化后進一步抽象而產(chǎn)生的新的模型.當代數(shù)學的研究對彖是來口于廣泛領域的大范圍復雜系統(tǒng)的扁度抽象的數(shù)學模型及其系統(tǒng)?例如，動力系統(tǒng)是當代數(shù)學研究的重要領域，動力系統(tǒng)中所研究的對象是由微分方程組所確定的時空空間結(jié)構和相空間結(jié)構；在非線性動力系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)）研究中，兒何分析和函數(shù)疊代是重要的研究方法，微分方程（組）所確定的模型（動力系統(tǒng)的“流”）的特征研究（如相圖、
5、不動點、極限集、吸引子、周期軌）就構成了動力系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容.在初等數(shù)學中，考慮到學生的可學習性和知識經(jīng)驗形成的心理特點，初等數(shù)學的學習不是以模型結(jié)構為線索進行的，但仍然可見數(shù)學模型和結(jié)構思想的雛形?如數(shù)系的擴展和數(shù)的運算學習及其在此基礎上通過數(shù)的抽彖形成式的運算的學習；從式子的運算結(jié)果到運算元索的逆向研究就構成了方程和方程組的模型;在不等關系的抽象和特征研究中形成了不等式學習的內(nèi)容；在數(shù)集之間的對應關系模型研究中產(chǎn)生了一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)模型，經(jīng)過進一步抽象后形成了抽象的函數(shù)模型；從三維空間中的元素分拆和現(xiàn)實圖形的抽象形成了
6、兒何研究的皋木模型：點、線、面、體，再通過這些基本模型的重組和變換就構成了初等幾何學習與研究的豐富多彩的圖形和圖形關系.數(shù)學模型的本質(zhì)形式是集合與集合系統(tǒng)，基本的農(nóng)現(xiàn)形式有：公理化形式、數(shù)量關系形式、圖形形式和程序形式，在初等數(shù)學中，皋木的表現(xiàn)形式是：“數(shù)一式”形式、圖形圖象形式、表格形式、程序與框圖形式.在具體模型中，可能是以上述四種基本形式的若干種結(jié)合和交叉的形式出現(xiàn)，而其中最重要的是“數(shù)一式”與圖形圖象基本形式的結(jié)合與交叉,這是產(chǎn)生“數(shù)形結(jié)合思想”的生長點.二、理解和構建數(shù)學模型的心理機制1.模型理解.所謂理解數(shù)學模型指的是知道給定的數(shù)學模型的由來，會以典型
7、數(shù)學模型為載體，解析相關的數(shù)學概念、事實和原理，知道屬于不同數(shù)學概念的數(shù)學模型Z間的相互關系，會在變化背景的情況下辨別數(shù)學模型并利用該模型有關的數(shù)學知識解決問題.(1)數(shù)學模型的理解是從整體到部分的過程，是從拓撲到度量的過程.對模型的知覺是理解數(shù)學模型的基礎階段，數(shù)學模型的知覺主要是視知覺.我國學者陳霖提出了著名的“拓撲性質(zhì)知覺理論”，他認為：“知覺的組織應該是從變換和變換中的不變性知覺的角度來理解.兩個方面是，第一方面強調(diào)形狀知覺屮的拓撲結(jié)構，這就是，知覺的組織的人范圍性質(zhì)能夠川拓撲不變性來描述；第二方而進一步強調(diào)早期拓撲性質(zhì)知覺，這就是，拓撲性質(zhì)知覺優(yōu)先于局部
8、特征性質(zhì)(
