畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）-伊辛模型的研究

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1、摘要:本文首先介紹了什么是伊辛模型及其提出的背景，接著介紹了布喇格一威廉斯近似方法，它是一種典型的平均場理論。雖然其存在缺陷，但可以說明伊辛模型相變的主要特征。然后又簡單介紹了用來討論臨界點(diǎn)性質(zhì)的臨界指數(shù)，最后通過對伊辛模型求嚴(yán)格解，得出了一維伊辛模型的局限性。關(guān)鍵詞：伊辛模型平均場配分函數(shù)相變Abstract:ThisarticlefirstintroducedanyisthebackgroundwhichtheIsingmodelandproposed,thenitintroducedtheBragg-Williamsapproximatemethod,itisonekindoft

2、ypicalaveragefieldtheory.Althoughitsexistenceflaw,mayexplaintheIsingmodelchangesmaincharacteristic.Thenitsimpleintroducedthecriticalexponent，whichusedfortodiscussthecriticalpointnature,finallywegottheresultoftheIsingmodel'slimitationsfromtheIsingmodelsstrictsolution.Keywords:Isingmodel；averagefi

3、eld；partitionfunction；phasetransformation.0引言41伊辛模型41.1鐵磁體的伊辛模型41.2其它模型的對照52布喇格一威廉斯近似62.1布喇格一威廉斯假設(shè)62.2配分函數(shù)72.3相變73臨界指數(shù)93.1臨界點(diǎn)的性質(zhì)104伊辛模型的嚴(yán)格解104.1一維伊辛模型的局限性11結(jié)束語13參考文獻(xiàn)14致謝150引言從20世紀(jì)30年代中葉開始，“從單一的配分函數(shù)表達(dá)式能否同時描述各項(xiàng)和相的轉(zhuǎn)變”這一問題成為爭論對象之一。該問題的解決方法之一是建立包含系統(tǒng)最本質(zhì)特征的簡化模型，嚴(yán)格地導(dǎo)出其在相變點(diǎn)的宏觀特性。物理學(xué)家經(jīng)過半個多世紀(jì)以來對統(tǒng)計(jì)模型的大量研究，已

4、形成統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個專門研究領(lǐng)域，其中一個最簡單的模型——伊辛模型。然而，經(jīng)過研究和討論，該模型并非十分完美，仍存在一定的局限性。1伊辛模型伊辛在1925年提出一個描述鐵磁體的簡單模型。模型雖然簡單，但是用它討論鐵磁體的相變十分方便。同時，只需對相應(yīng)的記號稍加改變，這一模型還可以描述二元合金模型、晶體內(nèi)吸附氣體分子的格氣模型等以有序一無序相變?yōu)樘卣鞯南到y(tǒng)。1.1鐵磁體的伊辛模型鐵磁體視為N個格點(diǎn)組成的n維晶格（〃二1,2,3）,每個格點(diǎn)上均冇一自旋粒子。粒子的自旋計(jì)為S,（/=1,2,…，N）,它只取+1或T兩值，或速俗稱自旋向上與自旋向下兩個取向。格點(diǎn)上自旋的取值構(gòu)成分布｛SJ,每個

5、分布描述鐵磁體的一個構(gòu)形。只考慮最近鄰自旋的相互作用，起作用能的取值原則是：當(dāng)兩個相鄰自旋相互平行（沿相同取向）吋取-占，反平行（平行但取向相反）吋為+￡；￡>0對應(yīng)鐵磁性，為反鐵磁性。同時，自旋與外磁場還冇相互作用。將自旋磁矩計(jì)為uB,在外磁場為B,分布為｛Si｝吋系統(tǒng)的能量則口J寫為NE,￡?｝二-￡XSiSj-^BBXSi（1-D/=1式中求和符號的〈（/>表示：求和時S,Sj和S/Sj中只取一項(xiàng)，而11只取最近鄰項(xiàng)，這種規(guī)則冇時寫為j=i+[.下標(biāo)T表示給出的是伊辛模型的能量。如果每格點(diǎn)的最近鄰格點(diǎn)數(shù)為了，求和項(xiàng)的總數(shù)則為灑/2。假設(shè)自旋向上總粒子數(shù)；自旋向下總粒子數(shù)；

6、N++：（++）型近鄰（即相鄰兩自旋均向上）總刈■數(shù)；N」（-）型近鄰（即相鄰兩自旋均向下）總對數(shù)；N+_:（+-）（包括-+）型近鄰（即相鄰兩自旋反向）總對數(shù)。根據(jù)其內(nèi)在聯(lián)系以及（1-1）式可得到以N++為變量表達(dá)式(1—2)E（N+,N++）=-4M+++2（0-心B）N+-（1/2洱-“詔）N配分函數(shù)則為0（0,8）二￡0處）二￡.工€何倒1NSlSN二盯（尹沿）￡/20（曠“嚴(yán)+工g（w+,N++）嚴(yán)*（1-3）N卜=0N++（1-3）式給出了伊辛模型的配分函數(shù)。但是，要利用這個配分函數(shù)來研究相變述需進(jìn)一步給IBN+和N++的值。這歸根到底是一個求解伊辛模型的問題。1.2其它模

7、型的對照二元合金和晶格氣體可用類似于伊辛模型的方法來描述。事實(shí)上，只要將上面伊辛模型屮的N++等的意義加以調(diào)整，既可描述二元合金和格氣。1.2.1二元合金二元合金的相變是研究最早的有序一無序相變。當(dāng)溫度升至T=TC（某個臨界溫度）吋，每種原子占“對”位置的幾率將為1/2（“錯”的幾率同吋增大到l/2）o那就是說，從心開始，包括溫度繼續(xù)上升而超過這個臨界溫度，兩種原子將“無序”的混合。我們說在心點(diǎn)發(fā)生了從有序到無序的轉(zhuǎn)變，或曰相變。通常又將這一相