反常積分的研究文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述反常積分的研究　　　　　　　　　　　　一、前言部分通過(guò)數(shù)學(xué)分析等課程的學(xué)習(xí)，知道了反常積分作為變限積分函數(shù)的極限，其許多性質(zhì)與定積分類(lèi)似。反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間有密切聯(lián)系，反常積分的許多斂散性判別法與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法是平行的，同時(shí)反常積分也有特殊的性質(zhì).本文的寫(xiě)作目的就是在之前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上,通過(guò)查閱有關(guān)文獻(xiàn)資料,研究反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法及計(jì)算，研究反常積分的特殊性質(zhì)，討論反常二重積分的簡(jiǎn)單問(wèn)題.首先來(lái)介紹幾個(gè)基本概念.定義設(shè)函數(shù)定義在無(wú)窮區(qū)間上,且在任何有限區(qū)間?上可積,如果存在極限則稱(chēng)此極限J為函數(shù)在上的無(wú)窮限反常積分（簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮積分）,記作,并

2、稱(chēng)收斂.如果極限不存在,為方便起見(jiàn),亦稱(chēng)?發(fā)散.定義設(shè)函數(shù)定義在上,在點(diǎn)的任一右鄰域內(nèi)無(wú)界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間?上有界且可積,如果存在極限,則稱(chēng)此極限為無(wú)界函數(shù)上的反常積分,記作,并稱(chēng)反常積分收斂,如果極限不存在,這時(shí)也說(shuō)反常積分?發(fā)散.定義?設(shè)D為中的一無(wú)界區(qū)域（例如,全平面、半平面、角域、帶形區(qū)域、任一有界區(qū)域的外部等等）,函數(shù)在D中有定義且有界.用任意一條光滑曲線L在D中畫(huà)出（可求面積）有界區(qū)域都D..設(shè)的二重積分存在,當(dāng)曲線L連續(xù)變動(dòng),使自坐標(biāo)原點(diǎn)到L上的點(diǎn)的最小距離時(shí),所劃出的區(qū)域D..無(wú)限擴(kuò)展而趨于（或籠罩）區(qū)域D,記為,此時(shí)稱(chēng)為函數(shù)在無(wú)界區(qū)域D上的廣義

3、積分,記為=如果不論曲線的形狀如何,也不論的擴(kuò)展過(guò)程如何,=式右端有惟一的有限極限值存在,則稱(chēng)廣義二重積分收斂,極限值稱(chēng)為廣義二重積分值.此時(shí)也稱(chēng)在上廣義可積,簡(jiǎn)稱(chēng)可積.若式右端的極限不存在,或者極限值依賴(lài)于曲線L的形狀及區(qū)域的擴(kuò)展過(guò)程,則稱(chēng)廣義二重積分發(fā)散,也稱(chēng)在上不可積.定義設(shè)為有界區(qū)域,點(diǎn),函數(shù)在上（可除去點(diǎn)）有定義.,且.若,則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)在區(qū)域上的一個(gè)瑕點(diǎn).以點(diǎn)為中心,以為半徑作一小圓,設(shè)在內(nèi)可積,此時(shí)稱(chēng)為在中的含瑕點(diǎn)的廣義二重積分.若式右端有惟一的有限極限存在,則稱(chēng)含瑕點(diǎn)的廣義二重積分收斂,極限值稱(chēng)為函數(shù)的含瑕點(diǎn)的廣義二重積分值.若式右端的極限不存在,則

4、稱(chēng)函數(shù)的含瑕點(diǎn)的廣義二重積分發(fā)散.二、主題部分前面一部分簡(jiǎn)單介紹了一下本論文的寫(xiě)作目的，寫(xiě)作背景和所要介紹的一些基本概念.現(xiàn)在中西方的不少著作中都是將反常積分放在微積分的積分部分中進(jìn)行介紹的，當(dāng)然也有一些著作是單獨(dú)對(duì)反常積分的某一性質(zhì)或者是在某種情況下的反常積分進(jìn)行研究的.下面就對(duì)我所翻閱的有關(guān)反常積分的文獻(xiàn)進(jìn)行一下簡(jiǎn)單介紹.文獻(xiàn)[3]全面介紹了反常積分.書(shū)中首先以第二宇宙速度和圓柱形桶漏水兩個(gè)例子引出反常積分.進(jìn)而對(duì)無(wú)窮反常積分和瑕積分給出了定義.此外還分別給出了無(wú)窮積分和瑕積分的性質(zhì)和收斂判別.介紹了數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)知識(shí).其中的一些性質(zhì)和判別法與無(wú)窮反常積分類(lèi)似

5、.文獻(xiàn)[4]通過(guò)把目前求反常積分各種離散的方法進(jìn)行梳理、整合，進(jìn)而形成了一套求解反常積分理論系統(tǒng)．突破了反常積分的一般求解方法的局限；運(yùn)用拉普拉斯變換，伽馬函數(shù)，數(shù)值積分方法，留數(shù)定理等方法求反常積分，打破了傳統(tǒng)的求解模式，開(kāi)拓了大家的思維，使得反常積分的求解操作性更強(qiáng)，使得求解反常積分更加系統(tǒng)化、理論化、深入化；同時(shí)，可以根據(jù)各種求解方法之間的相互關(guān)系進(jìn)一步地了解反常積分.文獻(xiàn)[5]對(duì)一道反常積分習(xí)題提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔的證明，所采用的方法是反常積分的定義，而后將這道習(xí)題作為定理，用其解答了五個(gè)例子，這五個(gè)例子涉及到正項(xiàng)級(jí)數(shù)，二重積分，三重積分等．文獻(xiàn)[6]對(duì)華東師范

6、大學(xué)出版的《數(shù)學(xué)分析》中的一些有關(guān)反常的題目給出了正確的解答.文獻(xiàn)[7]利用比較判別法，給出了無(wú)窮積分和瑕積分?jǐn)可⑿缘膶?duì)數(shù)判別法；對(duì)比無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)，同時(shí)給出了無(wú)窮級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)審斂法．文獻(xiàn)[8]論述了反常積分與積分和之間的關(guān)系，指出在某些條件下，反常積分可以由某些特殊形式的“積分和”來(lái)逼近，同時(shí)給出了某些特殊數(shù)列前項(xiàng)的算術(shù)和幾何平均比值的極限.文獻(xiàn)[9]將無(wú)窮積分及無(wú)界函數(shù)積分的被積函數(shù)運(yùn)用無(wú)窮小和無(wú)窮大比較的方法進(jìn)行比較,得到了相應(yīng)的反常積分?jǐn)可⑿詷O限審斂法的等價(jià)定理,并給予證明,從而可運(yùn)用等價(jià)定理靈活的判斷反常積分的斂散性.文獻(xiàn)[10]介紹一種判別無(wú)窮限反常

7、積分與正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法.文獻(xiàn)[11]介紹了計(jì)算反常積分時(shí),幾種容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤,并分析了產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因,目的在于幫助初學(xué)者加深對(duì)反常積分概念的理解.文獻(xiàn)[12]是數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典著作，一直受到數(shù)學(xué)界的推崇。作為Rudin的分析學(xué)經(jīng)典著作之一，在西方各國(guó)乃至我國(guó)均有著廣泛而深遠(yuǎn)的影響。被許多高校用做數(shù)學(xué)分析課的必選教材。在書(shū)中的第六章，作者先以積分的定義和存在性引出話題進(jìn)而討論了積分的性質(zhì)，以及積分與微分的關(guān)系，還討論了可求長(zhǎng)曲線，并在章后的習(xí)題中通過(guò)一些習(xí)題引出了反常積分的討論。緊接著，本書(shū)的第七章討論了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些概念，這也是對(duì)之前反常積分的問(wèn)題的一個(gè)延

8、伸。文獻(xiàn)[