反常積分的研究文獻綜述

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1、文獻綜述反常積分的研究　　　　　　　　　　　　一、前言部分通過數(shù)學(xué)分析等課程的學(xué)習(xí)，知道了反常積分作為變限積分函數(shù)的極限，其許多性質(zhì)與定積分類似。反常積分與數(shù)項級數(shù)之間有密切聯(lián)系，反常積分的許多斂散性判別法與數(shù)項級數(shù)的斂散性判別法是平行的，同時反常積分也有特殊的性質(zhì).本文的寫作目的就是在之前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上,通過查閱有關(guān)文獻資料,研究反常積分斂散性的判別法及計算，研究反常積分的特殊性質(zhì)，討論反常二重積分的簡單問題.首先來介紹幾個基本概念.定義設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上,且在任何有限區(qū)間?上可積,如果存在極限則稱此極限J為函數(shù)在上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分）,記作,并

2、稱收斂.如果極限不存在,為方便起見,亦稱?發(fā)散.定義設(shè)函數(shù)定義在上,在點的任一右鄰域內(nèi)無界,但在任何內(nèi)閉區(qū)間?上有界且可積,如果存在極限,則稱此極限為無界函數(shù)上的反常積分,記作,并稱反常積分收斂,如果極限不存在,這時也說反常積分?發(fā)散.定義?設(shè)D為中的一無界區(qū)域（例如,全平面、半平面、角域、帶形區(qū)域、任一有界區(qū)域的外部等等）,函數(shù)在D中有定義且有界.用任意一條光滑曲線L在D中畫出（可求面積）有界區(qū)域都D..設(shè)的二重積分存在,當(dāng)曲線L連續(xù)變動,使自坐標(biāo)原點到L上的點的最小距離時,所劃出的區(qū)域D..無限擴展而趨于（或籠罩）區(qū)域D,記為,此時稱為函數(shù)在無界區(qū)域D上的廣義

3、積分,記為=如果不論曲線的形狀如何,也不論的擴展過程如何,=式右端有惟一的有限極限值存在,則稱廣義二重積分收斂,極限值稱為廣義二重積分值.此時也稱在上廣義可積,簡稱可積.若式右端的極限不存在,或者極限值依賴于曲線L的形狀及區(qū)域的擴展過程,則稱廣義二重積分發(fā)散,也稱在上不可積.定義設(shè)為有界區(qū)域,點,函數(shù)在上（可除去點）有定義.,且.若,則稱點為函數(shù)在區(qū)域上的一個瑕點.以點為中心,以為半徑作一小圓,設(shè)在內(nèi)可積,此時稱為在中的含瑕點的廣義二重積分.若式右端有惟一的有限極限存在,則稱含瑕點的廣義二重積分收斂,極限值稱為函數(shù)的含瑕點的廣義二重積分值.若式右端的極限不存在,則

4、稱函數(shù)的含瑕點的廣義二重積分發(fā)散.二、主題部分前面一部分簡單介紹了一下本論文的寫作目的，寫作背景和所要介紹的一些基本概念.現(xiàn)在中西方的不少著作中都是將反常積分放在微積分的積分部分中進行介紹的，當(dāng)然也有一些著作是單獨對反常積分的某一性質(zhì)或者是在某種情況下的反常積分進行研究的.下面就對我所翻閱的有關(guān)反常積分的文獻進行一下簡單介紹.文獻[3]全面介紹了反常積分.書中首先以第二宇宙速度和圓柱形桶漏水兩個例子引出反常積分.進而對無窮反常積分和瑕積分給出了定義.此外還分別給出了無窮積分和瑕積分的性質(zhì)和收斂判別.介紹了數(shù)項級數(shù)的相關(guān)知識.其中的一些性質(zhì)和判別法與無窮反常積分類似

5、.文獻[4]通過把目前求反常積分各種離散的方法進行梳理、整合，進而形成了一套求解反常積分理論系統(tǒng)．突破了反常積分的一般求解方法的局限；運用拉普拉斯變換，伽馬函數(shù)，數(shù)值積分方法，留數(shù)定理等方法求反常積分，打破了傳統(tǒng)的求解模式，開拓了大家的思維，使得反常積分的求解操作性更強，使得求解反常積分更加系統(tǒng)化、理論化、深入化；同時，可以根據(jù)各種求解方法之間的相互關(guān)系進一步地了解反常積分.文獻[5]對一道反常積分習(xí)題提供了一個簡潔的證明，所采用的方法是反常積分的定義，而后將這道習(xí)題作為定理，用其解答了五個例子，這五個例子涉及到正項級數(shù)，二重積分，三重積分等．文獻[6]對華東師范

6、大學(xué)出版的《數(shù)學(xué)分析》中的一些有關(guān)反常的題目給出了正確的解答.文獻[7]利用比較判別法，給出了無窮積分和瑕積分斂散性的對數(shù)判別法；對比無窮積分和無窮級數(shù)，同時給出了無窮級數(shù)的對數(shù)審斂法．文獻[8]論述了反常積分與積分和之間的關(guān)系，指出在某些條件下，反常積分可以由某些特殊形式的“積分和”來逼近，同時給出了某些特殊數(shù)列前項的算術(shù)和幾何平均比值的極限.文獻[9]將無窮積分及無界函數(shù)積分的被積函數(shù)運用無窮小和無窮大比較的方法進行比較,得到了相應(yīng)的反常積分斂散性極限審斂法的等價定理,并給予證明,從而可運用等價定理靈活的判斷反常積分的斂散性.文獻[10]介紹一種判別無窮限反常

7、積分與正項級數(shù)斂散性的判別法.文獻[11]介紹了計算反常積分時,幾種容易出現(xiàn)的錯誤,并分析了產(chǎn)生錯誤的原因,目的在于幫助初學(xué)者加深對反常積分概念的理解.文獻[12]是數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典著作，一直受到數(shù)學(xué)界的推崇。作為Rudin的分析學(xué)經(jīng)典著作之一，在西方各國乃至我國均有著廣泛而深遠的影響。被許多高校用做數(shù)學(xué)分析課的必選教材。在書中的第六章，作者先以積分的定義和存在性引出話題進而討論了積分的性質(zhì)，以及積分與微分的關(guān)系，還討論了可求長曲線，并在章后的習(xí)題中通過一些習(xí)題引出了反常積分的討論。緊接著，本書的第七章討論了函數(shù)項級數(shù)的一些概念，這也是對之前反常積分的問題的一個延

8、伸。文獻[