_最短路徑問題課件.ppt

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1、13.4課題學習最短路徑問題如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？兩點之間,線段最短①②③(Ⅰ)兩點在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點P，使得PA+PB最小。P連接AB,線段AB與直線L的交點P，就是所求。思考？？？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點之間線段最短.引言：前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．引入新知問題

2、1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？探索新知BAl追問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的

3、兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？探索新知追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．BAlC追問1對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與C

4、B的和最?。緽·lA·追問2你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．探索新知問題2如圖，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·B′C探索新知問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性

5、質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．探索新知問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問1證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′

6、”的作用是什么？探索新知追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′1.如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）A·BMNE作法：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，2.連接AE交河對岸與點M,則點M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB

7、兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。A·BMNECD(Ⅲ)一點在兩相交直線內(nèi)部已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形