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《_最短路徑問(wèn)題課件.ppt》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題如圖所示,從A地到B地有三條路可供選擇,你會(huì)選走哪條路最近?你的理由是什么??jī)牲c(diǎn)之間,線段最短①②③(Ⅰ)兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知:如圖,A,B在直線L的兩側(cè),在L上求一點(diǎn)P,使得PA+PB最小。P連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P,就是所求。思考???為什么這樣做就能得到最短距離呢?根據(jù):兩點(diǎn)之間線段最短.引言:前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等的問(wèn)題,我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題,本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”.引入新知問(wèn)題
2、1相傳,古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫.有一天,一位將軍專(zhuān)程拜訪海倫,求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題:從圖中的A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索,利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為“將軍飲馬問(wèn)題”.你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎?探索新知BAl追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,你打算首先做什么?將A,B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn),將河l抽象為一條直線.探索新知B··Al(1)從A地出發(fā),到河邊l飲馬,然后到B地;(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處,把這些地點(diǎn)與A,B連接起來(lái)的
3、兩條線段的長(zhǎng)度之和,就是從A地到飲馬地點(diǎn),再回到B地的路程之和;探索新知追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思,并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎?探索新知追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思,并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎?(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最?。ㄈ鐖D).BAlC追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題2,如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處,滿足直線l上的任意一點(diǎn)C,都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等?探索新知問(wèn)題2如圖,點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與C
4、B的和最???B·lA·追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí),找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎?探索新知問(wèn)題2如圖,點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最???B·lA·作法:(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′;(2)連接AB′,與直線l相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.探索新知問(wèn)題2如圖,點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最?。緽·lA·B′C探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎?B·lA·B′C證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合),連接AC′,BC′,B′C′.由軸對(duì)稱(chēng)的性
5、質(zhì)知,BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′.探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎?B·lA·B′CC′探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎?B·lA·B′CC′證明:在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即AC+BC最短.若直線l上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)C不重合)與A,B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC,就說(shuō)明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問(wèn)1證明AC+BC最短時(shí),為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C不重合),證明AC+BC<AC′+BC′?這里的“C′
6、”的作用是什么?探索新知追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程,我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的?B·lA·B′CC′1.如圖,A.B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上建一座橋MN,橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假設(shè)河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)A·BMNE作法:1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E,2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置,MN為所建的橋。證明:由平移的性質(zhì),得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處,連接AC.CD.DB.CE,則AB
7、兩地的距離為:AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中,∵AC+CE>AE,∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB>AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處,AB兩地的路程最短。A·BMNECD(Ⅲ)一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部已知:如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn),在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點(diǎn)B,C,組成三角形,使三角形周長(zhǎng)最小.BCDE分析:當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí),三角形