D1_1映射與函數(shù).ppt

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1、第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限—研究對(duì)象—研究方法函數(shù)、極限、連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)的研究對(duì)象，它反映了客觀世界變量間的依賴關(guān)系；極限作為一種重要的思想方法和研究工具貫穿于微積分學(xué)的始終.為了準(zhǔn)確而深刻地理解函數(shù)概念與極限理論，集合、映射與實(shí)數(shù)理論的知識(shí)是不可缺少的.本章將對(duì)中學(xué)已學(xué)過的集合和映射的知識(shí)作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和必要的補(bǔ)充，并從幾何直觀來說明實(shí)數(shù)的完備性.在此基礎(chǔ)上，重點(diǎn)講解數(shù)列與函數(shù)的極限理論以及連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)，為學(xué)習(xí)微積分，以及為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠定比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)具體內(nèi)容如下：第一節(jié).集合、映射與函數(shù);第二節(jié).數(shù)列極限;第三節(jié).函數(shù)的極限;第四節(jié)

2、.無窮小量與無窮大量;第五節(jié).連續(xù)函數(shù).第一章二、實(shí)數(shù)集的完備性和確界原理三、函數(shù)一、集合及其運(yùn)算第一節(jié)集合、映射與函數(shù)元素a屬于集合M,記作元素a不屬于集合M,記作一、集合及其運(yùn)算1.定義及表示法定義1.具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作?.(或).注:集合的元可以是數(shù)，也可以是研究的任何對(duì)象。簡(jiǎn)稱集簡(jiǎn)稱元集合按元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集和無限集。(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：x所具有的特征例:整數(shù)集合或有理數(shù)集p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合x為有理數(shù)或無理

3、數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間2、表示法無限區(qū)間點(diǎn)的?鄰域其中,a稱為鄰域中心,?稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心?鄰域左?鄰域:右?鄰域:是B的子集,或稱B包含A,定義2.則稱A若且則稱A與B相等,例如,顯然有：?若設(shè)有集合記作記作必有3、集合之間的關(guān)系及運(yùn)算并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集乘積特例:記平面上的全體點(diǎn)集.或定義3.給定兩個(gè)集合A,B,練習(xí)p20,44、集合的運(yùn)算法則法則1設(shè)A,B,C為三個(gè)任意集合，則下列法則成立：(1)交換律(3)分配律(2)結(jié)合律(4)冪等律(5)吸收律若法則2（對(duì)偶原理）若X為基本集，A,B是它的兩個(gè)(1)(2)子集，則注：集合的交與并

4、運(yùn)算和對(duì)偶原理等可推廣至有限多個(gè)和無窮多個(gè)集合的情形。二、實(shí)數(shù)的完備性和確界存在定理1、實(shí)數(shù)的重要性質(zhì)：(1)關(guān)于有理運(yùn)算封閉，即任意兩實(shí)數(shù)做有理運(yùn)算(加、減、乘、除)后仍為實(shí)數(shù)；(2)有序性：對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b，有且僅有下列關(guān)系之一：并且，若則(3)稠密性：任意兩實(shí)數(shù)之間存在另一實(shí)數(shù)。(4)實(shí)數(shù)集R是完備的.解釋1：完備性是指集合關(guān)于極限運(yùn)算封閉！解釋2：實(shí)數(shù)集R和實(shí)數(shù)軸上的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).注1：有理數(shù)集合封閉、有序、稠密；不完備。注2：完備性是實(shí)數(shù)的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)分析的建立基礎(chǔ)。刻畫實(shí)數(shù)完備性的定理主要有：確界原理、聚點(diǎn)定理、區(qū)間套定理等等.2、

5、確界存在定理（確界原理）常用符號(hào)“”——對(duì)所有的、對(duì)任給的；”——存在、有?！岸x1.1（集合的有界性）設(shè)A為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若則稱A有上（下）界，L（l）稱為A的一個(gè)上界（下界）。若A既有上界又有下界，稱A有界；否則，稱A無界。注：1.A有界使得有2.有上(下)界的數(shù)集的上(下)界有無窮多個(gè)。練習(xí)1：討論下列數(shù)集的界(1)(2)答案：1、大于1(小于1)的數(shù)都是它的上(下)界;2、大于1(小于0)的數(shù)都是它的上(下)界。練習(xí)2：P20,5題。定義1.2（確界）設(shè)若滿足：（1）s是A的上(下)界；（2）則稱s是A的上(下)確界，記為supA(infA)

6、.練習(xí)3：討論練習(xí)1中數(shù)集的確界。注：1、確界如果存在，一定唯一；2、上(下)確界和最大(小)值不同;（P21,8題）3、集合無上（下）界，一定無上（下）確界，此時(shí)規(guī)定：（答案略）定理1.1任一有上（下）界的非空實(shí)數(shù)集A必有上（下）確界。思考：有上（下）界的有（無）理數(shù)集，有上(下)確界么？若有，是否一定是有(無)理數(shù)？例:1.答案：1.infA=ln2;supA=1;2.,求兩集合的確界.2.infA=;supA=2;某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.三、映射和函數(shù)1、映射與函數(shù)設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集

7、合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作元素y稱為元素x在映射f下的像,記作元素x稱為元素y在映射f下的原像.集合X稱為映射f的定義域;Y的子集稱為f的值域.注:1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)法則,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.定義4.X(數(shù)集或點(diǎn)集)在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用X(≠?)Y(數(shù)集)f稱為X上的泛函X(≠?)Xf稱為X上的變換Rf稱為定義在X上的函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,說明:對(duì)映射若,則稱f為滿射;若有則稱f為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一一映射.例.如圖

8、所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積則在數(shù)集自身之間定義了一種映射。例.設(shè)令則