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1、博博博士士士學(xué)學(xué)學(xué)位位位論論論文文文黎曼流形上外微分形式理論在A-調(diào)和方程中的應(yīng)用研究RESEARCHESONAPPLICATIONSOFDIFFERENTIALFORMSINA-HARMONICEQUATIONSONRIEMANNIANMANIFOLDS王王王婷婷婷婷婷婷哈哈哈爾爾爾濱濱濱工工工業(yè)業(yè)業(yè)大大大學(xué)學(xué)學(xué)2015年年年6月月月國(guó)內(nèi)圖書分類號(hào)：O175.2學(xué)校代碼：10213國(guó)際圖書分類號(hào)：517.9密級(jí)：公開(kāi)理理理學(xué)學(xué)學(xué)博博博士士士學(xué)學(xué)學(xué)位位位論論論文文文黎曼流形上外微分形式理論在A-調(diào)和方程中的應(yīng)用研究
2、博士研究生：王婷婷導(dǎo)師：包革軍教授申請(qǐng)學(xué)位：理學(xué)博士學(xué)科：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)所在單位：數(shù)學(xué)系答辯日期：2015年6月授予學(xué)位單位：哈爾濱工業(yè)大學(xué)ClassifiedIndex:O175.2U.D.C:517.9DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceRESEARCHESONAPPLICATIONSOFDIFFERENTIALFORMSINA-HARMONICEQUATIONSONRIEMANNIANMANIFOLDSCandidate:WangTingtingSupervisor:P
3、rof.BaoGejunAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,2015Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要黎曼流形上的外微分形式理論在黎曼流形的大范圍分析理論、偏微分方程、物理學(xué)和力學(xué)等學(xué)科中扮演著十分重要的角色。A-調(diào)和方
4、程是一類二階擬線性橢圓偏微分方程，它在位勢(shì)理論、流體力學(xué)、彈性理論、相對(duì)論、電磁場(chǎng)、塑性力學(xué)、微分幾何以及幾何函數(shù)論等許多領(lǐng)域中都有著非常廣泛的應(yīng)用。因此在外微分形式理論的基礎(chǔ)上研究A-調(diào)和方程具有十分重要的意義。本文主要研究黎曼流形上用外微分形式理論描述的A-調(diào)和方程及其在帶邊黎曼流形上的廣義Dirichlet邊值問(wèn)題、障礙問(wèn)題和變分問(wèn)題，研究工作包括以下四個(gè)方面：首先，由于A-調(diào)和方程本身的散度結(jié)構(gòu)，利用算子理論研究解的性質(zhì)。應(yīng)用黎曼流形上的Morrey引理和等周型不等式本文建立了A-調(diào)和張量在黎曼流形緊子集上
5、的Holder¨連續(xù)性估計(jì)。其次，在帶邊黎曼流形上考慮A-調(diào)和方程的廣義Dirichlet邊值問(wèn)題。在其可解的基礎(chǔ)上，證明了解的積分估計(jì)和弱逆Holder¨不等式。定義了外微分形式序列的弱收斂并證明了解關(guān)于非齊次項(xiàng)的穩(wěn)定性。然后，根據(jù)A-調(diào)和張量的定義表達(dá)式以及A算子的性質(zhì)可知，我們可以考慮低于自然可積指數(shù)的弱A-調(diào)和張量。本文證明了黎曼流形上的Poincare-′Sobolev不等式，并結(jié)合Rn上Lp外微分形式的Hodge分解定理在Rn的開(kāi)子集上建立了弱A-調(diào)和張量的弱逆Holder¨不等式。又基于A-調(diào)和方程與
6、障礙問(wèn)題的緊密聯(lián)系，本文在Rn的有界正則域上討論了其廣義邊值問(wèn)題的?r;-障';礙問(wèn)題。證明了其很弱解的存在唯一性和擬極小化?r;p;l1q上r-Dirichlet';積分的性質(zhì)，并建立了很弱解關(guān)于障礙外微分形式的穩(wěn)定性。最后，注意到A-調(diào)和方程具有變分結(jié)構(gòu)，還可以應(yīng)用變分方法來(lái)討論解的存在性。本文將變分方法推廣到外微分形式空間，在向量值外微分形式空間上建立了相關(guān)泛函的極值問(wèn)題并證得了其極小值點(diǎn)的存在性。這也是外微分形式理論的又一個(gè)重要的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：A-調(diào)和方程；黎曼流形；外微分形式；障礙問(wèn)題；變分問(wèn)題-
7、I-哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)博士學(xué)位論文AbstractThetheoryofdierentialformsonRiemannianmanifoldsplaysanimportantroleinglobalanalysisofRiemannianmanifolds,partialdierentialequations,physicsandmechanicsetc.TheA-harmonicequationisaclassofquasilinearpartialellipticequa-tionsofsecondorder
8、,itiswidelyusedinthepotentialtheory,?uidmechanics,elasticitytheory,thetheoryofrelativity,theelectromagnetic?eld,plasticity,dierentialgeometryandgeometricfunctiontheoryetc.Itisthere
