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1、博博博士士士學學學位位位論論論文文文黎曼流形上外微分形式理論在A-調(diào)和方程中的應(yīng)用研究RESEARCHESONAPPLICATIONSOFDIFFERENTIALFORMSINA-HARMONICEQUATIONSONRIEMANNIANMANIFOLDS王王王婷婷婷婷婷婷哈哈哈爾爾爾濱濱濱工工工業(yè)業(yè)業(yè)大大大學學學2015年年年6月月月國內(nèi)圖書分類號：O175.2學校代碼：10213國際圖書分類號：517.9密級：公開理理理學學學博博博士士士學學學位位位論論論文文文黎曼流形上外微分形式理論在A-調(diào)和方程中的應(yīng)用研究
2、博士研究生：王婷婷導師：包革軍教授申請學位：理學博士學科：基礎(chǔ)數(shù)學所在單位：數(shù)學系答辯日期：2015年6月授予學位單位：哈爾濱工業(yè)大學ClassifiedIndex:O175.2U.D.C:517.9DissertationfortheDoctoralDegreeinScienceRESEARCHESONAPPLICATIONSOFDIFFERENTIALFORMSINA-HARMONICEQUATIONSONRIEMANNIANMANIFOLDSCandidate:WangTingtingSupervisor:P
3、rof.BaoGejunAcademicDegreeAppliedfor:DoctorofScienceSpecialty:FundamentalMathematicsAliation:DepartmentofMathematicsDateofDefence:June,2015Degree-Conferring-Institution:HarbinInstituteofTechnology摘要摘要黎曼流形上的外微分形式理論在黎曼流形的大范圍分析理論、偏微分方程、物理學和力學等學科中扮演著十分重要的角色。A-調(diào)和方
4、程是一類二階擬線性橢圓偏微分方程，它在位勢理論、流體力學、彈性理論、相對論、電磁場、塑性力學、微分幾何以及幾何函數(shù)論等許多領(lǐng)域中都有著非常廣泛的應(yīng)用。因此在外微分形式理論的基礎(chǔ)上研究A-調(diào)和方程具有十分重要的意義。本文主要研究黎曼流形上用外微分形式理論描述的A-調(diào)和方程及其在帶邊黎曼流形上的廣義Dirichlet邊值問題、障礙問題和變分問題，研究工作包括以下四個方面：首先，由于A-調(diào)和方程本身的散度結(jié)構(gòu)，利用算子理論研究解的性質(zhì)。應(yīng)用黎曼流形上的Morrey引理和等周型不等式本文建立了A-調(diào)和張量在黎曼流形緊子集上
5、的Holder¨連續(xù)性估計。其次，在帶邊黎曼流形上考慮A-調(diào)和方程的廣義Dirichlet邊值問題。在其可解的基礎(chǔ)上，證明了解的積分估計和弱逆Holder¨不等式。定義了外微分形式序列的弱收斂并證明了解關(guān)于非齊次項的穩(wěn)定性。然后，根據(jù)A-調(diào)和張量的定義表達式以及A算子的性質(zhì)可知，我們可以考慮低于自然可積指數(shù)的弱A-調(diào)和張量。本文證明了黎曼流形上的Poincare-′Sobolev不等式，并結(jié)合Rn上Lp外微分形式的Hodge分解定理在Rn的開子集上建立了弱A-調(diào)和張量的弱逆Holder¨不等式。又基于A-調(diào)和方程與
6、障礙問題的緊密聯(lián)系，本文在Rn的有界正則域上討論了其廣義邊值問題的?r;-障';礙問題。證明了其很弱解的存在唯一性和擬極小化?r;p;l1q上r-Dirichlet';積分的性質(zhì)，并建立了很弱解關(guān)于障礙外微分形式的穩(wěn)定性。最后，注意到A-調(diào)和方程具有變分結(jié)構(gòu)，還可以應(yīng)用變分方法來討論解的存在性。本文將變分方法推廣到外微分形式空間，在向量值外微分形式空間上建立了相關(guān)泛函的極值問題并證得了其極小值點的存在性。這也是外微分形式理論的又一個重要的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：A-調(diào)和方程；黎曼流形；外微分形式；障礙問題；變分問題-
7、I-哈爾濱工業(yè)大學理學博士學位論文AbstractThetheoryofdierentialformsonRiemannianmanifoldsplaysanimportantroleinglobalanalysisofRiemannianmanifolds,partialdierentialequations,physicsandmechanicsetc.TheA-harmonicequationisaclassofquasilinearpartialellipticequa-tionsofsecondorder
8、,itiswidelyusedinthepotentialtheory,?uidmechanics,elasticitytheory,thetheoryofrelativity,theelectromagnetic?eld,plasticity,dierentialgeometryandgeometricfunctiontheoryetc.Itisthere
