梅涅勞斯定理.doc

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1、共線點三點共線的意思：三點在同一條直線上。證明方法：方法一：取兩點確立一條直線，計算該直線的解析式。代入第三點坐標看是否滿足該解析式　　方法二：設(shè)三點為。利用向量證明：a倍=（其中a為非零實數(shù)）?！　》椒ㄈ豪命c差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三點共線?！　》椒ㄋ?證三次兩點一線(誤，兩點必然共線)?！　》椒ㄎ?用梅涅勞斯定理?！　》椒豪脦缀沃械墓怼叭绻麅蓚€不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線?！笨芍喝绻c同屬于兩個相交的平面則三點共線?！　》椒ㄆ撸哼\用公（定）理“過

2、直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”。其實就是同一法?！　》椒ò耍鹤C明其夾角為180°　　方法九：設(shè)，證明面積為0。例1．證明：三角形外接圓上任一點在三邊（或所在直線）上的射影共線。證明：如圖1-1,外接圓上一點到的射影分別為。證明：∴及四點共圓∴又∵∴易知點三點共線。（此三點所在直線稱西莫松simson線）圖1-1例2.證明：三角形一頂點在其他兩角內(nèi)外平分線上的射影是共線的四點。如圖1-2，假設(shè)在中，和是的內(nèi)外角平分線，其中和表示頂點在它們上的射影，和是的內(nèi)外角平分線，其中和表示頂點在它們上的

3、射影，求證：四點共線。證明：連直線和，以表示的中點，易見四邊形為矩形，所以，一方面通過的中點，另一方面又有∴∥即直線與重合。同理，直線也與重合，故四點都在直線上，共線。圖1-2練習題1．證明：梯形上下底中點，兩對角線交點，兩腰（所在直線）交點共線。證明：如圖1-3，梯形,點為兩腰與的交點，為對角線與的交點。連結(jié)分別交于于。先過點作∥且與、相交于。易知∴故同理：圖1-3則分別是與的中點，故共線。練習題2.如圖1-4，分別以德兩邊、為邊向外作正方形,再以為斜邊向的同側(cè)做等腰,求證：三點共線。證明：分別過點向作垂線

4、，垂足分別為要證明共線，只需證,再過易知∴圖1-4練習題3.如圖1-5，圓內(nèi)接為不等邊三角形，過點分別作圓的切線依次交直線于，求證:三點共線。證明：，易知又易證∽,則，同理同理，故，圖1-5由梅涅勞斯定理的逆定理，知三點共線。練習題4.如圖1-6，以銳角的一邊為直徑作圓，過點作圓的兩條切線，切點為，點是的垂心.求證：三點共線。證明：射線交于，顯然為高。記與的交點為，易知三點共線。連接，易知，∴五點共圓，更有四點共圓，此時,∵（四點共圓），圖1-6即；又，所以∽，故同理，。因為，所以三點共線。練習題5.如圖1-

5、7，延長凸四邊形的邊交于點，延長邊交于點，又分別是的中點，求證：三點共線。證明：設(shè)的中點為，輔助線如圖所示，由可知，點必在內(nèi)，此時，圖1-7同理,。因此。此時，直線平分，即三點共線。梅涅勞斯（Menelaus）定理梅涅勞斯（Menelaus）（簡稱梅氏定理）定理是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。數(shù)學意義：使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還是可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是賽瓦定理。

6、一，梅涅勞斯定理：設(shè)的三邊（或所在直線）被一直線分別截于點，則。證明：（證法一）如圖2-1過點作直線與截線平行，交直線于，則在中，有①在中,有②①×②得:故得證。（證法二）如圖2-2圖2-1即：⑴整理⑴式可得：圖2-2得證。（證法三）如圖2-3作,,,垂足分別為，則有∽,∽,∽得證。圖2-3二，逆定理：設(shè)在三邊（或所在直線）上各取一點滿足關(guān)系，則此三點共線。證明：（同一法）如圖2-4圖2-4連接交于，由梅涅勞斯定理知：又由于在同一直線上的三點中，位于邊上的點的個數(shù)為0或2，所以和或者同在線段上，或者同在的延長

7、線上；若和或者同在線段上，則和必定重合，不然的話,設(shè),這時，于是可得：，與矛盾。類似地可證當和同在延長線上時,和也重合。綜上所述：三點共線。例1.設(shè)四邊形兩雙對邊相交于，如圖2-5，證明的中點共線。證明：設(shè)分別是的中點，在△ABE中，取及的中點，易知：直線∥且通過直線∥且通過直線∥且通過又,,而三點共線，可知圖2-5由梅涅勞斯定理知三點共線。例2．證明：三角形外接圓上任一點在三邊（或所在直線）上的射影共線。證明：如圖2-6,外接圓上一點到的射影分別為。證法一（梅涅勞斯定理）：連結(jié)①②圖2-6③∵∴將①×②×③

8、得：由梅涅勞斯定理可知三點共線。練習題1.如圖2-7，在一條直線上取點，在另一條直線上取點，記直線和,和，和的交點依次為，證明：點共線。證明：記直線和，和，和的交點，對，線段、、、、分別與三邊或其所在直線交于三點，由梅涅勞斯定理有：,圖2-7,,。將上面五個式子相乘可得：,由梅涅勞斯逆定理知：點共線。練習題2.如圖2-8，從引四條直線，另外兩條直線分別交這四條直線于和，試證：證明：1)若∥，結(jié)論顯然