梅涅勞斯定理.doc

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1、共線點(diǎn)三點(diǎn)共線的意思：三點(diǎn)在同一條直線上。證明方法：方法一：取兩點(diǎn)確立一條直線，計(jì)算該直線的解析式。代入第三點(diǎn)坐標(biāo)看是否滿(mǎn)足該解析式　　方法二：設(shè)三點(diǎn)為。利用向量證明：a倍=（其中a為非零實(shí)數(shù)）?！　》椒ㄈ豪命c(diǎn)差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三點(diǎn)共線?！　》椒ㄋ?證三次兩點(diǎn)一線(誤，兩點(diǎn)必然共線)?！　》椒ㄎ?用梅涅勞斯定理。　　方法六：利用幾何中的公理“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線?！笨芍喝绻c(diǎn)同屬于兩個(gè)相交的平面則三點(diǎn)共線。　　方法七：運(yùn)用公（定）理“過(guò)

2、直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）”。其實(shí)就是同一法?！　》椒ò耍鹤C明其夾角為180°　　方法九：設(shè)，證明面積為0。例1．證明：三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊（或所在直線）上的射影共線。證明：如圖1-1,外接圓上一點(diǎn)到的射影分別為。證明：∴及四點(diǎn)共圓∴又∵∴易知點(diǎn)三點(diǎn)共線。（此三點(diǎn)所在直線稱(chēng)西莫松simson線）圖1-1例2.證明：三角形一頂點(diǎn)在其他兩角內(nèi)外平分線上的射影是共線的四點(diǎn)。如圖1-2，假設(shè)在中，和是的內(nèi)外角平分線，其中和表示頂點(diǎn)在它們上的射影，和是的內(nèi)外角平分線，其中和表示頂點(diǎn)在它們上的

3、射影，求證：四點(diǎn)共線。證明：連直線和，以表示的中點(diǎn)，易見(jiàn)四邊形為矩形，所以，一方面通過(guò)的中點(diǎn)，另一方面又有∴∥即直線與重合。同理，直線也與重合，故四點(diǎn)都在直線上，共線。圖1-2練習(xí)題1．證明：梯形上下底中點(diǎn)，兩對(duì)角線交點(diǎn)，兩腰（所在直線）交點(diǎn)共線。證明：如圖1-3，梯形,點(diǎn)為兩腰與的交點(diǎn)，為對(duì)角線與的交點(diǎn)。連結(jié)分別交于于。先過(guò)點(diǎn)作∥且與、相交于。易知∴故同理：圖1-3則分別是與的中點(diǎn)，故共線。練習(xí)題2.如圖1-4，分別以德兩邊、為邊向外作正方形,再以為斜邊向的同側(cè)做等腰,求證：三點(diǎn)共線。證明：分別過(guò)點(diǎn)向作垂線

4、，垂足分別為要證明共線，只需證,再過(guò)易知∴圖1-4練習(xí)題3.如圖1-5，圓內(nèi)接為不等邊三角形，過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線依次交直線于，求證:三點(diǎn)共線。證明：，易知又易證∽,則，同理同理，故，圖1-5由梅涅勞斯定理的逆定理，知三點(diǎn)共線。練習(xí)題4.如圖1-6，以銳角的一邊為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，點(diǎn)是的垂心.求證：三點(diǎn)共線。證明：射線交于，顯然為高。記與的交點(diǎn)為，易知三點(diǎn)共線。連接，易知，∴五點(diǎn)共圓，更有四點(diǎn)共圓，此時(shí),∵（四點(diǎn)共圓），圖1-6即；又，所以∽，故同理，。因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線。練習(xí)題5.如圖1-

5、7，延長(zhǎng)凸四邊形的邊交于點(diǎn)，延長(zhǎng)邊交于點(diǎn)，又分別是的中點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線。證明：設(shè)的中點(diǎn)為，輔助線如圖所示，由可知，點(diǎn)必在內(nèi)，此時(shí)，圖1-7同理,。因此。此時(shí)，直線平分，即三點(diǎn)共線。梅涅勞斯（Menelaus）定理梅涅勞斯（Menelaus）（簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。數(shù)學(xué)意義：使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還是可以用來(lái)解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對(duì)偶定理是賽瓦定理。

6、一，梅涅勞斯定理：設(shè)的三邊（或所在直線）被一直線分別截于點(diǎn)，則。證明：（證法一）如圖2-1過(guò)點(diǎn)作直線與截線平行，交直線于，則在中，有①在中,有②①×②得:故得證。（證法二）如圖2-2圖2-1即：⑴整理⑴式可得：圖2-2得證。（證法三）如圖2-3作,,,垂足分別為，則有∽,∽,∽得證。圖2-3二，逆定理：設(shè)在三邊（或所在直線）上各取一點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系，則此三點(diǎn)共線。證明：（同一法）如圖2-4圖2-4連接交于，由梅涅勞斯定理知：又由于在同一直線上的三點(diǎn)中，位于邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2，所以和或者同在線段上，或者同在的延長(zhǎng)

7、線上；若和或者同在線段上，則和必定重合，不然的話,設(shè),這時(shí)，于是可得：，與矛盾。類(lèi)似地可證當(dāng)和同在延長(zhǎng)線上時(shí),和也重合。綜上所述：三點(diǎn)共線。例1.設(shè)四邊形兩雙對(duì)邊相交于，如圖2-5，證明的中點(diǎn)共線。證明：設(shè)分別是的中點(diǎn)，在△ABE中，取及的中點(diǎn)，易知：直線∥且通過(guò)直線∥且通過(guò)直線∥且通過(guò)又,,而三點(diǎn)共線，可知圖2-5由梅涅勞斯定理知三點(diǎn)共線。例2．證明：三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊（或所在直線）上的射影共線。證明：如圖2-6,外接圓上一點(diǎn)到的射影分別為。證法一（梅涅勞斯定理）：連結(jié)①②圖2-6③∵∴將①×②×③

8、得：由梅涅勞斯定理可知三點(diǎn)共線。練習(xí)題1.如圖2-7，在一條直線上取點(diǎn)，在另一條直線上取點(diǎn)，記直線和,和，和的交點(diǎn)依次為，證明：點(diǎn)共線。證明：記直線和，和，和的交點(diǎn)，對(duì)，線段、、、、分別與三邊或其所在直線交于三點(diǎn)，由梅涅勞斯定理有：,圖2-7,,。將上面五個(gè)式子相乘可得：,由梅涅勞斯逆定理知：點(diǎn)共線。練習(xí)題2.如圖2-8，從引四條直線，另外兩條直線分別交這四條直線于和，試證：證明：1)若∥，結(jié)論顯然