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1、共線點(diǎn)三點(diǎn)共線的意思:三點(diǎn)在同一條直線上。證明方法:方法一:取兩點(diǎn)確立一條直線,計(jì)算該直線的解析式。代入第三點(diǎn)坐標(biāo)看是否滿(mǎn)足該解析式 方法二:設(shè)三點(diǎn)為。利用向量證明:a倍=(其中a為非零實(shí)數(shù))?! 》椒ㄈ豪命c(diǎn)差法求出AB斜率和AC斜率,相等即三點(diǎn)共線?! 》椒ㄋ?證三次兩點(diǎn)一線(誤,兩點(diǎn)必然共線)?! 》椒ㄎ?用梅涅勞斯定理。 方法六:利用幾何中的公理“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線?!笨芍喝绻c(diǎn)同屬于兩個(gè)相交的平面則三點(diǎn)共線。 方法七:運(yùn)用公(定)理“過(guò)
2、直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行(垂直)”。其實(shí)就是同一法?! 》椒ò耍鹤C明其夾角為180° 方法九:設(shè),證明面積為0。例1.證明:三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊(或所在直線)上的射影共線。證明:如圖1-1,外接圓上一點(diǎn)到的射影分別為。證明:∴及四點(diǎn)共圓∴又∵∴易知點(diǎn)三點(diǎn)共線。(此三點(diǎn)所在直線稱(chēng)西莫松simson線)圖1-1例2.證明:三角形一頂點(diǎn)在其他兩角內(nèi)外平分線上的射影是共線的四點(diǎn)。如圖1-2,假設(shè)在中,和是的內(nèi)外角平分線,其中和表示頂點(diǎn)在它們上的射影,和是的內(nèi)外角平分線,其中和表示頂點(diǎn)在它們上的
3、射影,求證:四點(diǎn)共線。證明:連直線和,以表示的中點(diǎn),易見(jiàn)四邊形為矩形,所以,一方面通過(guò)的中點(diǎn),另一方面又有∴∥即直線與重合。同理,直線也與重合,故四點(diǎn)都在直線上,共線。圖1-2練習(xí)題1.證明:梯形上下底中點(diǎn),兩對(duì)角線交點(diǎn),兩腰(所在直線)交點(diǎn)共線。證明:如圖1-3,梯形,點(diǎn)為兩腰與的交點(diǎn),為對(duì)角線與的交點(diǎn)。連結(jié)分別交于于。先過(guò)點(diǎn)作∥且與、相交于。易知∴故同理:圖1-3則分別是與的中點(diǎn),故共線。練習(xí)題2.如圖1-4,分別以德兩邊、為邊向外作正方形,再以為斜邊向的同側(cè)做等腰,求證:三點(diǎn)共線。證明:分別過(guò)點(diǎn)向作垂線
4、,垂足分別為要證明共線,只需證,再過(guò)易知∴圖1-4練習(xí)題3.如圖1-5,圓內(nèi)接為不等邊三角形,過(guò)點(diǎn)分別作圓的切線依次交直線于,求證:三點(diǎn)共線。證明:,易知又易證∽,則,同理同理,故,圖1-5由梅涅勞斯定理的逆定理,知三點(diǎn)共線。練習(xí)題4.如圖1-6,以銳角的一邊為直徑作圓,過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為,點(diǎn)是的垂心.求證:三點(diǎn)共線。證明:射線交于,顯然為高。記與的交點(diǎn)為,易知三點(diǎn)共線。連接,易知,∴五點(diǎn)共圓,更有四點(diǎn)共圓,此時(shí),∵(四點(diǎn)共圓),圖1-6即;又,所以∽,故同理,。因?yàn)?,所以三點(diǎn)共線。練習(xí)題5.如圖1-
5、7,延長(zhǎng)凸四邊形的邊交于點(diǎn),延長(zhǎng)邊交于點(diǎn),又分別是的中點(diǎn),求證:三點(diǎn)共線。證明:設(shè)的中點(diǎn)為,輔助線如圖所示,由可知,點(diǎn)必在內(nèi),此時(shí),圖1-7同理,。因此。此時(shí),直線平分,即三點(diǎn)共線。梅涅勞斯(Menelaus)定理梅涅勞斯(Menelaus)(簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理)定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。數(shù)學(xué)意義:使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算,其逆定理還是可以用來(lái)解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法,是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理,具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對(duì)偶定理是賽瓦定理。
6、一,梅涅勞斯定理:設(shè)的三邊(或所在直線)被一直線分別截于點(diǎn),則。證明:(證法一)如圖2-1過(guò)點(diǎn)作直線與截線平行,交直線于,則在中,有①在中,有②①×②得:故得證。(證法二)如圖2-2圖2-1即:⑴整理⑴式可得:圖2-2得證。(證法三)如圖2-3作,,,垂足分別為,則有∽,∽,∽得證。圖2-3二,逆定理:設(shè)在三邊(或所在直線)上各取一點(diǎn)滿(mǎn)足關(guān)系,則此三點(diǎn)共線。證明:(同一法)如圖2-4圖2-4連接交于,由梅涅勞斯定理知:又由于在同一直線上的三點(diǎn)中,位于邊上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或2,所以和或者同在線段上,或者同在的延長(zhǎng)
7、線上;若和或者同在線段上,則和必定重合,不然的話,設(shè),這時(shí),于是可得:,與矛盾。類(lèi)似地可證當(dāng)和同在延長(zhǎng)線上時(shí),和也重合。綜上所述:三點(diǎn)共線。例1.設(shè)四邊形兩雙對(duì)邊相交于,如圖2-5,證明的中點(diǎn)共線。證明:設(shè)分別是的中點(diǎn),在△ABE中,取及的中點(diǎn),易知:直線∥且通過(guò)直線∥且通過(guò)直線∥且通過(guò)又,,而三點(diǎn)共線,可知圖2-5由梅涅勞斯定理知三點(diǎn)共線。例2.證明:三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊(或所在直線)上的射影共線。證明:如圖2-6,外接圓上一點(diǎn)到的射影分別為。證法一(梅涅勞斯定理):連結(jié)①②圖2-6③∵∴將①×②×③
8、得:由梅涅勞斯定理可知三點(diǎn)共線。練習(xí)題1.如圖2-7,在一條直線上取點(diǎn),在另一條直線上取點(diǎn),記直線和,和,和的交點(diǎn)依次為,證明:點(diǎn)共線。證明:記直線和,和,和的交點(diǎn),對(duì),線段、、、、分別與三邊或其所在直線交于三點(diǎn),由梅涅勞斯定理有:,圖2-7,,。將上面五個(gè)式子相乘可得:,由梅涅勞斯逆定理知:點(diǎn)共線。練習(xí)題2.如圖2-8,從引四條直線,另外兩條直線分別交這四條直線于和,試證:證明:1)若∥,結(jié)論顯然