梅涅勞斯定理及應(yīng)用

《梅涅勞斯定理及應(yīng)用》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。

1、梅涅勞斯定理梅涅勞斯(Menelaus)定理(簡稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與AABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1O或：設(shè)X、Y、Z分別在AABC的BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)二1。展開定理的證明證明：當(dāng)直線交AABC的AB.BC、CA的反向延長線于點D、E、F時，(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1逆定理證明：證明：X、Y、Z分別在ZiABC的BC、CA、AB所在

2、直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1證明一過點A作AG〃BC交DF的延長線于G,則AF/FB二AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=(AG/BD)X(BD/DC)X(DC/AG)=1證明二過點C作CP〃DF交AB于P,則BD/DC二FB/PF,CE/EA二PF/AF所以有AF/FBXBD/DCXCE/EA=AF/FBXFB/PFXPF/AF二1證明三連結(jié)BFo(AD：DB)?(BE：EC)?(CF:FA)二(SAADF：SABDF)?(S

3、ABEF：SACEF)?(SABCF：SABAF)=(SAADF：SABDF)?(SABDF：SACDF)?(SACDF：SAADF)=1證明四過三頂點作直線DEF的垂線，AABB，,CC，有AD：DB二AA':BB'另外兩個類似，三式相乘得1得證。如百科名片中圖。充分性證明：AABC中，BC,CA,AB上的分點分別為D,E,F。連接DF交CA于E',則由充分性可得，(AF/FB)X(BD/DC)X(CE'/E'A)=1乂?.?(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1???有CE/EA二CE'/E'A,兩點重合。所以DEF共線推論在AABC的三邊BC、CA

4、、AB或其延長線上分別取1八M、N三點，又分比是入二BL/LC、□二CM/MA、v二AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是XPv=-lo(注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是Xpv=l)此外，用⑴該定理可使其容易理解和記憶：第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E,F,D三點共線，則(sinZACF/sinZFCB)(sinZBAD/sinZDAC)(sinZCBE/sinZABE)=l即圖屮的藍(lán)角正弦值Z積等于紅角正弦值Z積該形式的梅涅勞斯定理也很實用證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任

5、取-點0,且EDF共線，則(sinZAOF/sinZFOB)(sinZBOD/sinZDOC)(sinZCOE/sinZAOE)=1o(0不與點A、B、C重合)梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三邊弧AB,弧BC,弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于P,Q,R三點，那么(sin弧AP/sin弧PB)X(sin弧BQ/sin弧QC)X(sin弧CR/sin弧RA)=1[2]記憶ABC為三個頂點，DEF為三個分點(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)二1空間感好的人可以這么記：(±1/下1)

6、*(整/右)*(下2/±2)二1或者按比值畫實心與空心圓。另外，有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣，不看書根本記不住，下面從別人轉(zhuǎn)來一些方法幫助書寫為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。例如直升機(jī)降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母

7、所代表的景占后，最終還要冋到岀發(fā)占A。耳外還有二個要求，就是侖'一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。從A點出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明：方案①一一從A經(jīng)過B（不停留）到F（停留），再返冋B（停留），再到D（停留），Z后經(jīng)過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經(jīng)過C（不停留）回到出發(fā)點A。按照這個方案，可以寫出關(guān)系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）二1?，F(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。從A點出發(fā)的旅游方案還有：方案②一一可以簡記為：A->B->F->D->E->C->A,由此可寫