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《梅涅勞斯定理及應(yīng)用》由會員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、梅涅勞斯定理梅涅勞斯(Menelaus)定理(簡稱梅氏定理)是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出:如果一條直線與AABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點,那么(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1O或:設(shè)X、Y、Z分別在AABC的BC、CA、AB所在直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)二1。展開定理的證明證明:當(dāng)直線交AABC的AB.BC、CA的反向延長線于點D、E、F時,(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1逆定理證明:證明:X、Y、Z分別在ZiABC的BC、CA、AB所在
2、直線上,則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1證明一過點A作AG〃BC交DF的延長線于G,則AF/FB二AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG三式相乘得:(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=(AG/BD)X(BD/DC)X(DC/AG)=1證明二過點C作CP〃DF交AB于P,則BD/DC二FB/PF,CE/EA二PF/AF所以有AF/FBXBD/DCXCE/EA=AF/FBXFB/PFXPF/AF二1證明三連結(jié)BFo(AD:DB)?(BE:EC)?(CF:FA)二(SAADF:SABDF)?(S
3、ABEF:SACEF)?(SABCF:SABAF)=(SAADF:SABDF)?(SABDF:SACDF)?(SACDF:SAADF)=1證明四過三頂點作直線DEF的垂線,AABB,,CC,有AD:DB二AA':BB'另外兩個類似,三式相乘得1得證。如百科名片中圖。充分性證明:AABC中,BC,CA,AB上的分點分別為D,E,F。連接DF交CA于E',則由充分性可得,(AF/FB)X(BD/DC)X(CE'/E'A)=1乂?.?(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1???有CE/EA二CE'/E'A,兩點重合。所以DEF共線推論在AABC的三邊BC、CA
4、、AB或其延長線上分別取1八M、N三點,又分比是入二BL/LC、□二CM/MA、v二AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是XPv=-lo(注意與塞瓦定理相區(qū)分,那里是Xpv=l)此外,用⑴該定理可使其容易理解和記憶:第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖:若E,F,D三點共線,則(sinZACF/sinZFCB)(sinZBAD/sinZDAC)(sinZCBE/sinZABE)=l即圖屮的藍(lán)角正弦值Z積等于紅角正弦值Z積該形式的梅涅勞斯定理也很實用證明:可用面積法推出:第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任
5、取-點0,且EDF共線,則(sinZAOF/sinZFOB)(sinZBOD/sinZDOC)(sinZCOE/sinZAOE)=1o(0不與點A、B、C重合)梅涅勞斯球面三角形定理在球面三角形ABC中,三邊弧AB,弧BC,弧CA(都是大圓弧)被另一大圓弧截于P,Q,R三點,那么(sin弧AP/sin弧PB)X(sin弧BQ/sin弧QC)X(sin弧CR/sin弧RA)=1[2]記憶ABC為三個頂點,DEF為三個分點(AF/FB)X(BD/DC)X(CE/EA)=1(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)*(頂?shù)椒?分到頂)二1空間感好的人可以這么記:(±1/下1)
6、*(整/右)*(下2/±2)二1或者按比值畫實心與空心圓。另外,有很多人會覺得書寫這個公式十分煩瑣,不看書根本記不住,下面從別人轉(zhuǎn)來一些方法幫助書寫為了說明問題,并給大家一個深刻印象,我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點,各景點之間有公路相連。我們乘直升機(jī)飛到這些景點的上空,然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩,最后回到出發(fā)點,直升機(jī)就停在那里等待我們回去。我們不必考慮怎樣走路程最短,只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點,不能算是“游歷”。例如直升機(jī)降落在A點,我們從A點出發(fā),“游歷”了其它五個字母
7、所代表的景占后,最終還要冋到岀發(fā)占A。耳外還有二個要求,就是侖'一直線上的三個景點,必須連續(xù)游過之后,才能變更到其它直線上的景點。從A點出發(fā)的旅游方案共有四種,下面逐一說明:方案①一一從A經(jīng)過B(不停留)到F(停留),再返冋B(停留),再到D(停留),Z后經(jīng)過B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后從E經(jīng)過C(不停留)回到出發(fā)點A。按照這個方案,可以寫出關(guān)系式:(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)二1?,F(xiàn)在,您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。從A點出發(fā)的旅游方案還有:方案②一一可以簡記為:A->B->F->D->E->C->A,由此可寫