第1章梅涅勞斯定理及應(yīng)用.doc

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1、第一章涅勞斯定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】梅涅勞斯定理設(shè)，，分別是的三邊，，或其延長線上的點，若，，三點共線，則．①證明如圖，過作直線交的延長線于，則，，故．注此定理的證明還有如下正弦定理證法及面積證法．正弦定理證法設(shè)，，，在中，有，同理，，，此三式相乘即證．面積證法由，，，此三式相乘即證．梅涅勞斯定理的逆定理設(shè)，，分別是的三邊，，或其延長線上的點，若，②則，，三點共線．證明設(shè)直線交于，則由梅涅勞斯定理，得到．由題設(shè)，有，即有．又由合比定理，知，故有，從而與重合，即，，三點共線．有時，也把上述兩個定理合寫為：設(shè)，，分別是的三邊，，所在直線（包括三邊的延長線）上的點，則，，三點

2、共線的充要條件是．上述①與②式是針對而言的，如圖（整個圖中有4個三角形），對于、、也有下述形式的充要條件：；；．③第一角元形式的梅涅勞斯定理設(shè)，，分別是的三邊，，所在直線（包括三邊的延長線）上的點，則，，共線的充分必要條件是．④證明如圖，可得．同理，，．以上三式相乘，運用梅涅勞斯定理及其逆定理，知結(jié)論成立．第二角元形式的梅涅勞斯定理設(shè)，，分別是的三邊，，所在直線上的點，點不在三邊所在直線上，則，，三點共線的充要條件是．⑤證明如圖，由，有．同理，，．于是．故由梅涅勞斯定理知，，共線．從而定理獲證．注（1）對于④、⑤式也有類似③式（整個圖中有4個三角形）的結(jié)論．（2）于在

3、上述各定理中，若采用有向線段或有向角，則①、②、③、④、⑤式中的右端均為，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的對應(yīng)線段記憶．特別要注意的是三邊所在直線上的點為一點或者三點在邊的延長線上．【典型例題與基本方法】1．恰當(dāng)?shù)剡x擇三角形及其截線（或作出截線），是應(yīng)用梅涅勞斯定理的關(guān)鍵例1如圖，在四邊形中，，，的面積比是3∶4∶1，點，分別在，上，滿足∶∶，并且，，共線．求證：與分別是和的中點．（1983年全國高中聯(lián)賽題）證明設(shè)（），交于．，，．．又因，，三點共線，可視為的截線，故由梅涅勞斯定理，得，即．化簡整理，得，解得，（舍去）．故與分別是和的中點．例2如圖1-5，在四邊

4、形中，對角線平分，在上取一點，與相交于，延長交于．求證：．（1999年全國高中聯(lián)賽題）證明記，，，直線與相截，由梅涅勞斯定理，有．故．即，亦即，且只可能為0，故．例3設(shè)、分別為四邊形的邊、上的點，與交于點．若，則．證明如圖1-6，只需證得當(dāng)關(guān)于的等角線交于時，、、共線即可．事實上，、、分別為三邊所在直線上的三點，且不在其三邊所在直線上．又，，，由第二角元形式的梅涅勞斯定理，有．故、、三點共線．注當(dāng)平分時，即為1999年全國高中聯(lián)賽題．2．梅涅勞斯定理的逆用（逆定理的應(yīng)用）與迭用，是靈活應(yīng)用梅氏定理的一種方法例2另證如圖1-5，設(shè)，關(guān)于的對稱點分別為，，易知，，三點共線

5、，連，，只須證明，，三點共線．設(shè)，，，則．對，應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，，三點共線．故．注在圖1-5中，*式也可為，若在的延長上，則*式為．例4如圖1-7，與和的三邊所在的3條直線都相切，，，，為切點，直線與交于點．求證：．（1996年全國高中聯(lián)賽題）證法1過作于，延長交直線于點．對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理，有．由，有．顯然，，三點共線，連，，，，則由，有，從而，即．又，則．對，應(yīng)用梅涅勞斯定理的逆定理，知，，三點共線，即為直線與的交點．故點與點重合，從而．證法2延長交于，直線與的三邊延長線都相交，直線與的三邊延長線都相交，分別應(yīng)用（迭用）梅涅勞斯定理，有，．上述兩

6、式相除，則有．而，，于是，即．連，，，，，，而，，共線，則，，且，從而，于是．故，即．【解題思維策略分析】梅涅勞斯定理是三角形幾何學(xué)中的一顆明珠，它蘊含著深刻的數(shù)學(xué)美，因而它在求解某些平面幾何問題，特別是某些平面幾何競賽題中有著重要的應(yīng)用．1．尋求線段倍分的一座橋梁例5已知的重心為，是邊的中點，過作邊的平行線交邊于，交邊于，且與交于點，與交于點．證明：．（1991年第3屆亞太地區(qū)競賽題）證明如圖1-8，延長交于，則為的中點．由，知，而．對及截線，應(yīng)用梅涅勞斯定理，有，故．從而，且．同理，，且．由此可知，與的兩邊分別平行且方向相反，從而，且，故．例6是一個等腰三角形，，

7、是的中點；是的延長線上的一點，使得；是線段上不同于和的任意一點，在直線上，在直線上，使得，，是不同的和共線的，求證：（Ⅰ）若，則；（Ⅱ）若，則．（1994年第35屆試題）證明（1）如圖1-9，連，，．由，易證，，，四點共圓，，，，四點共圓．則，因此．故．（Ⅱ）由，，對及截線運用梅涅勞斯定理，有，即．于是可證，得，故．例7在凸四邊形的邊和上取點和，使線段和把對角線三等分，已知，求證：是平行四邊形．（1990年第16屆全俄競賽題）證明如圖1-10，設(shè)，分別交于，，兩對角線交于．要證是平行四邊形，若證得（或），且即可．由，（等底等高），知，而，故有，從而有