北京航天航空大學(xué)線性代數(shù).ppt

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1、第一節(jié)線性變換的概念設(shè)V是數(shù)域K上的一個(gè)線性空間.V到自身的映射稱為V的一個(gè)變換.線性變換是線性空間的一種基本變換.一映射與變換設(shè)M與M?是兩個(gè)集合，集合M到M?的一個(gè)映射，是指一個(gè)法則,根據(jù)這個(gè)法則，對(duì)于M中每個(gè)元素?，都有M?中一個(gè)確定的元素??與之對(duì)應(yīng)，記為定義8.1?稱為?在映射?下的象，而?稱為?的一個(gè)原象.例1M=(??,+?),N=[?1,1],則是M到N的一個(gè)映射.例2M是全體實(shí)n階方陣的集合,P是實(shí)數(shù)集,則是M到P的一個(gè)映射.這是Pn[x]到自身的一個(gè)映射.例3Rn是n維向量空間,則是到自身的映射.其中A為n階滿秩方陣.例4Pn[x]是次數(shù)小于n次多項(xiàng)式的全體(包括零次

2、多項(xiàng)式)組成的集合,則二線性變換的概念一元方程ax=b及非齊次方程組Ax=b的共同點(diǎn):對(duì)函數(shù)f(x)=ax,可視為從實(shí)數(shù)集(M)到實(shí)數(shù)集(N)的映射.實(shí)質(zhì):在N中給定一個(gè)元素b,能否在M中找到一個(gè)元素(x),使f(x)=ax=b.f滿足方程組Ax=b中,g(x)=Ax是Rn到Rn的映射,Ax確定了一個(gè)變換.方程組的實(shí)質(zhì):給定一個(gè)向量b,能否找到一個(gè)原象x(可能不止一個(gè)),使在變換g下映射為b.定義且滿足設(shè)V是K上的一個(gè)線性空間,T為V內(nèi)的一個(gè)變換(即V到自身的一個(gè)映射),若滿足則稱T是線性空間V中的一個(gè)線性變換.例1區(qū)間(a,b)內(nèi)全體任意次可微的實(shí)函數(shù)集合D0(a,b)關(guān)于普通函數(shù)的加

3、法與實(shí)數(shù)的乘法構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間.在集合D0(a,b)上的變換是一個(gè)線性變換.例2在線性空間C[0,1]中的變換是線性變換.例3線性空間V中的任意元都與零元對(duì)應(yīng)的變換稱為零變換,即恒等變換都是線性變換.三線性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)設(shè)T是線性空間V上的線性變換.1.T(0)=0,T(??)=??,??V.2.線性變換把線性組合變成同樣的線性組合.即如果?=k1?1+k2?2+…+kr?r,則T(?)=k1T(?1)+k2T(?2)+…+krT(?r).3.若?1,?2,…,?r線性相關(guān),則T(?1),T(?2),…,T(?r)亦線性相關(guān).性質(zhì)3的逆命題不成立.(零變換)四線性變換的代數(shù)運(yùn)算

4、定義設(shè)T1,T2為線性空間V中的兩個(gè)線性變換1.定義T1的T2和T1+T2為(T1+T2)(?)=T1(?)+T2(?)??V2.定義數(shù)量k與T的數(shù)乘kT為(kT)(?)=kT(?)??V,k?K3.定義T1與T2的乘積T1T2為(T1T2)(?)=T1(T2(?))??V定理1.1設(shè)T1,T2是V中兩個(gè)線性變換,則T1+T2,kT1,T1T2都是線性變換.線性變換的乘法滿足結(jié)合律,不滿足結(jié)合律.定義如果對(duì)V中的線性變換T,存在V中線性變換S,使得TS=ST=I稱S為T的逆變換,此時(shí)稱T是可逆線性變換.同矩陣相同,并不是任何線性變換都有逆變換.當(dāng)變換T有逆變換時(shí),逆變換是唯一的.記作T-

5、1.定理1.2如果線性變換T可逆,則T-1也是線性變換.