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1、第一節(jié)線性變換的概念設V是數(shù)域K上的一個線性空間.V到自身的映射稱為V的一個變換.線性變換是線性空間的一種基本變換.一映射與變換設M與M?是兩個集合，集合M到M?的一個映射，是指一個法則,根據(jù)這個法則，對于M中每個元素?，都有M?中一個確定的元素??與之對應，記為定義8.1?稱為?在映射?下的象，而?稱為?的一個原象.例1M=(??,+?),N=[?1,1],則是M到N的一個映射.例2M是全體實n階方陣的集合,P是實數(shù)集,則是M到P的一個映射.這是Pn[x]到自身的一個映射.例3Rn是n維向量空間,則是到自身的映射.其中A為n階滿秩方陣.例4Pn[x]是次數(shù)小于n次多項式的全體(包括零次
2、多項式)組成的集合,則二線性變換的概念一元方程ax=b及非齊次方程組Ax=b的共同點:對函數(shù)f(x)=ax,可視為從實數(shù)集(M)到實數(shù)集(N)的映射.實質:在N中給定一個元素b,能否在M中找到一個元素(x),使f(x)=ax=b.f滿足方程組Ax=b中,g(x)=Ax是Rn到Rn的映射,Ax確定了一個變換.方程組的實質:給定一個向量b,能否找到一個原象x(可能不止一個),使在變換g下映射為b.定義且滿足設V是K上的一個線性空間,T為V內(nèi)的一個變換(即V到自身的一個映射),若滿足則稱T是線性空間V中的一個線性變換.例1區(qū)間(a,b)內(nèi)全體任意次可微的實函數(shù)集合D0(a,b)關于普通函數(shù)的加
3、法與實數(shù)的乘法構成一個實數(shù)域上的線性空間.在集合D0(a,b)上的變換是一個線性變換.例2在線性空間C[0,1]中的變換是線性變換.例3線性空間V中的任意元都與零元對應的變換稱為零變換,即恒等變換都是線性變換.三線性變換的簡單性質設T是線性空間V上的線性變換.1.T(0)=0,T(??)=??,??V.2.線性變換把線性組合變成同樣的線性組合.即如果?=k1?1+k2?2+…+kr?r,則T(?)=k1T(?1)+k2T(?2)+…+krT(?r).3.若?1,?2,…,?r線性相關,則T(?1),T(?2),…,T(?r)亦線性相關.性質3的逆命題不成立.(零變換)四線性變換的代數(shù)運算
4、定義設T1,T2為線性空間V中的兩個線性變換1.定義T1的T2和T1+T2為(T1+T2)(?)=T1(?)+T2(?)??V2.定義數(shù)量k與T的數(shù)乘kT為(kT)(?)=kT(?)??V,k?K3.定義T1與T2的乘積T1T2為(T1T2)(?)=T1(T2(?))??V定理1.1設T1,T2是V中兩個線性變換,則T1+T2,kT1,T1T2都是線性變換.線性變換的乘法滿足結合律,不滿足結合律.定義如果對V中的線性變換T,存在V中線性變換S,使得TS=ST=I稱S為T的逆變換,此時稱T是可逆線性變換.同矩陣相同,并不是任何線性變換都有逆變換.當變換T有逆變換時,逆變換是唯一的.記作T-
5、1.定理1.2如果線性變換T可逆,則T-1也是線性變換.
