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1、§2牛頓一萊布尼茨公式從上節(jié)例題和習題看到，通過求積分和的極限來計算定積分一般是很困難的．下面要介紹的牛頓一萊布尼茨公式不僅為定積分計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來．定理9．1若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù)F,即，則f在區(qū)間[a,b]上可積且這稱為牛頓一萊布尼茨公式，它也常寫成(1)證由定積分定義，任給，要證存在，當時，有事實上，對于的任一分割在每個小區(qū)間上對F(x)使用拉格朗日中值定理，則分別存在，使得(2)因為函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，從而一
2、致連續(xù)，所以對上述，存在，當時，有于是，當時，任取，便有這就證得所以f在區(qū)間[a,b]上可積,且有公式(1)成立注1在應用牛頓一萊布尼茨公式時，F(xiàn)(x)可由積分法求得注2定理條件尚可適當減弱例如：1)對F的要求可減弱為：在[a,b]區(qū)間上連續(xù),在(a,b)區(qū)間內可導且有．這不影響定理的證明．2)對f的要求可減弱為：在[a,b]區(qū)間上可積(不一定連續(xù))．這時(2)式仍成立，且由f在[a,b]區(qū)間上可積,(2)式右邊當時的極限就是，而左邊恒為一常數(shù)．例1利用牛頓一萊布尼茨公式計算下列定積分：1)2)3
3、)4)5)1)解:2)3）4）5)先用不定積分法求出的任一原函數(shù)，然后完成定積分計算：例2利用定積分求極限：把此極限式化為某個積分和的極限式，并轉化為計算定積分．為此作如下變形:解:不難看出,其中的和式是函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的一個積分和(這里所取的是等分分割，)所以當然,也可把J看作在[0,1]上的定積分,同樣有
