牛頓一萊布尼茨公式.ppt

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1、§2牛頓一萊布尼茨公式從上節(jié)例題和習(xí)題看到，通過求積分和的極限來計(jì)算定積分一般是很困難的．下面要介紹的牛頓一萊布尼茨公式不僅為定積分計(jì)算提供了一個(gè)有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來．定理9．1若函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù)F,即，則f在區(qū)間[a,b]上可積且這稱為牛頓一萊布尼茨公式，它也常寫成(1)證由定積分定義，任給，要證存在，當(dāng)時(shí)，有事實(shí)上，對(duì)于的任一分割在每個(gè)小區(qū)間上對(duì)F(x)使用拉格朗日中值定理，則分別存在，使得(2)因?yàn)楹瘮?shù)f在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，從而一

2、致連續(xù)，所以對(duì)上述，存在，當(dāng)時(shí)，有于是，當(dāng)時(shí)，任取，便有這就證得所以f在區(qū)間[a,b]上可積,且有公式(1)成立注1在應(yīng)用牛頓一萊布尼茨公式時(shí)，F(xiàn)(x)可由積分法求得注2定理?xiàng)l件尚可適當(dāng)減弱例如：1)對(duì)F的要求可減弱為：在[a,b]區(qū)間上連續(xù),在(a,b)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且有．這不影響定理的證明．2)對(duì)f的要求可減弱為：在[a,b]區(qū)間上可積(不一定連續(xù))．這時(shí)(2)式仍成立，且由f在[a,b]區(qū)間上可積,(2)式右邊當(dāng)時(shí)的極限就是，而左邊恒為一常數(shù)．例1利用牛頓一萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分：1)2)3

3、)4)5)1)解:2)3）4）5)先用不定積分法求出的任一原函數(shù)，然后完成定積分計(jì)算：例2利用定積分求極限：把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分．為此作如下變形:解:不難看出,其中的和式是函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的一個(gè)積分和(這里所取的是等分分割，)所以當(dāng)然,也可把J看作在[0,1]上的定積分,同樣有